BAC 2006. p 51

-2 o 2

-2 2

u v

A B

E

E' K

K'

F F'

BAC 2006 p 51.

(O ;u^→ ;v^→) est un repère orthonormal du plan P.

A est le point d’affixe 1 et B le point d’affixe −1.

f est l’application de P privé de O dans P qui, à tout point M d’affixe z distinct de 0, associe le point M’ d’affixe z’ = −1/

− z

_. 1. a. Soit E le point d’affixe e^iπ/3, on appelle E’ son image par f.

déterminer l’affixe de E’ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.

b. On note (C₁) le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l’image de (C₁) par f.

2. a. Soit K le point d’affixe 2e^i(5π/6) et K’ l’image de K par f. Calculer l’affixe de K’.

b. Soit (C₂) le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer l’image de (C₂) par f.

3. On désigne par R un point d’affixe 1 + e^iθ où _θ ∈ ]−π; π], R appartient au cercle (C3) de centre A et de rayon 1.

a. Montrer que z’ + 1 = (

z −

_{− 1)/}

z −

. En déduire que : |z’ + 1| = |z’|, z’ étant l’affixe de l’image R’ de R par f.

b. Montrer que les images des points R sont situés sur une droite.

A est le point d’affixe z_A = 1 et B est le point d’affixe z_B = −1.

f : P\{O}→ P telle que tout point M d’affixe z ( ≠ 0) a pour image le point M’ d’affixe z’ = −1/

− z

_.

1. a. Soit E le point d’affixe e

^iπ/3

, E’ = f(E) donc z

E’

= −1/z −

E

. z

E

= e

^iπ/3

donc z −

E

= e

^i(−π/3)

donc z

E’

= − e

^iπ/3

= e

^i(π/3+π)

= e

^i(−2π/3)

= cos(−2π/3) + i sin(−2π/3) = −1/2 − i 3/2 donc z

E’

= e

i(−−−−2ππππ/3)

=

−−−−1/2 −−−− i 3/2

b. (C₁) est le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l’image de (C₁) par f.

M ∈ (C

1

) ⇔ ∃ α ∈ ]−π ; π] tel que z = e

^iα

(c’est l’équation paramétrique de ce cercle)

or z = e

^iα

⇔ z − = e

^i(−α)

⇔ 1/z − = e

^iα

⇔ z’ = − e

^iα

⇔ z’ = − z

ce qui signifie que M’ est le symétrique de M par rapport à O

donc, par f, (C

1

) a pour image lui−−−−même.

2. a. K est le point d’affixe z

K

= 2e

^i(5π/6)

et K’est l’image de K par f.

z

K

= 2e

^i(5π/6)

⇔ z −

K

= 2e

^i(−5π/6)

⇔ 1/z −

K

= ½ e

^i(5π/6)

⇔ z

K’

= −1/2 e

^i(5π/6)

⇔ z

K’

= ½ e

^i(5π/6+π)

⇔ z

K’

= ½ e

^{i(−−−−ππππ/6)}

b. (C

2

) est le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer l’image de (C

2

) par f.

M ∈ (C

2

) ⇔ ∃ α ∈ ] −π ; π ] tel que z = 2e

^iα

(c’est l’équation paramétrique de ce cercle)

or z = 2e

^iα

⇔ z − = 2e

^i(−α)

⇔ 1/z − = ½ e

^iα

⇔ z’ = − ½ e

^iα

⇔ z’ = ½ e

^i(α+π)

⇔ z’ = ½ e

^iβ

avec β ∈ ] −π ; π ] donc l’image de (C

2

) par f est le cercle de centre O et de rayon ½ .

3. R est un point d’affixe 1 + e^iθ où θ ∈ ]−π ; π], R appartient au cercle (C3) de centre A et de rayon 1.

a. Montrer que z’ + 1 = z

1

z

−

. En déduire que : |z’ + 1| = |z’|, z’ étant l’affixe de l’image R’ de R par f.

z’ + 1 = 1 1 1

1

z z

z z z

− + −

− + = = on a alors : |z’+1| =

1 1 1 1

1 1 1

i i i

e e

z e

z

z z z z z z

θ θ −θ

+ − + −

− = − = = = =

or |z’| = 1 | 1| 1

| | | |

z z z

− = − =

donc |z’+1| = |z’|

b. Montrer que les images des points R sont situés sur une droite.

L’image R’ de R par f a pour affixe z’ telle que |z’+1| = |z’|

or |z’+1| = |z’| ⇔ |z’ − zB| = |z’|

⇔ BM’ = OM’

⇔ M’ est sur la médiatrice de [OB]

donc les images des points R sont sur la médiatrice de [OB].