Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚5 Fonctions usuelles (partie 1)
Exercice 47 (Le produit de composition n’est pas commutatif ) Soient les applicationsf etg d´efinies par :
f:R→R; x7→x2 et g:R→R; x7→x+ 1.
1. Justifier que les fonctionsg◦f etf ◦g existent.
2. Calculer les fonctions g◦f etf◦g.
3. Les fonctionsg◦f etf◦g sont-elles ´egales ? Justifier votre r´eponse.
Exercice 48 (Fonction homographique et bijectivit´e) Soit la fonctionf d´efinie par :
f: ]4,+∞[→R; x7→ 2x−1 4−x. 1. ´Etudier les variations de la fonctionf.
2. ´Etudier les limites ´eventuelles def aux bornes de ]4,+∞[.
3. Montrer que f r´ealise une bijection de ]4,+∞[ sur son imagef(]4,+∞[) que l’on pr´ecisera.
4. Soitfela bijection de ]4,+∞[ surf(]4,+∞[) induite parf. Expliciter la bijection r´eciproque (fe)−1defe.
Exercice 49 (Sens de variation, composition et addition) Soitf la fonction d´efinie par :
f: ]− ∞,1[→R; x7→ 1
x2−4x+ 3+ 3x+ 1.
1. Justifier que la fonctionf est bien d´efinie.
2. Donner la forme canonique du polynˆomeX2−4X+ 3.
3. D´eduire de 1. une d´ecomposition def sous la forme
f =f4◦f3◦f2◦f1+f5
o`u chacune des fonctions f1, f2, f3, f4, f5 est strictement monotone sur son ensemble de d´epart et est soit une restriction de fonction affine, soit une restriction de la fonction carr´ee, soit une restriction de la fonction inverse. On pr´ecisera les ensembles de d´epart et d’arriv´ee de chacune des fonctions introduites et on justifiera que les compos´ees sont bien d´efinies.
4. Montrer qu’alorsf est strictement croissante sur ]− ∞,1[.
Exercice 50 (Fraction rationnelle, ´etudes de limites et asymptote oblique) Soitf la fonction d´efinie par :
f:x7→2x3−15x2−2x−1 x2−5x+ 6 . 1. Pr´eciser le domaine de d´efinitionDf def.
2. ´Etudier les limites ´eventuelles def aux bornes deDf . 3. D´eterminer (a, b)∈R2 tels que :
f(x)−(ax+b)x→+∞→ 0 et interpr´eter graphiquement le r´esultat.
1
Exercice 51 (´Equation bicarr´ee et exponentielle) R´esoudre l’´equation
(E) : e4x−12e2x+ 35 = 0 d’inconnuex∈R.
Exercice 52 (Syst`eme et logarithme n´ep´erien) Soit le syst`eme
(S) :
ln
1 x
−ln(y2) = 1 ln(xy) = −1
o`u l’inconnue (x, y) est un couple de nombres r´eels appartenant au domaine de d´efinitionD ⊂R2 du syst`eme.
1. Pr´eciser le domaine de d´efinitionD. 2. R´esoudre le syst`eme (S).
Exercice 53 (Fonction racine cubique) Soitf la fonction cube d´efinie par :
f:R→R; x7→x3.
1. En appliquant le th´eor`eme de la bijection, d´emontrer que f r´ealise une bijection deRsurR.
Sa bijection r´eciproque
f−1: R→R est appel´ee fonction racine cubique et pour touty∈R, on pose :
f−1(y) =√3 y.
2. Soity∈R. Donner la d´efinition de √3y.
2. Donner le sens de variation de f−1ainsi que son domaine de continuit´e, en justifiant la r´eponse.
3. D´emontrer que pour touty∈R+∗ :
√3
y >0.
4. D´emontrer que pour tout (x, y)∈R2:
√3
xy=√3 x√3
y.
Exercice 54 (Valeurs d’arcsinus) 1. Calculer les nombres suivants :
arcsin 1
2
; arcsin (1) ; arcsin −
√2 2
! . 2. En utilisant les propri´et´es des bijections r´eciproques,
(a) donner un intervalleI deRtel que :
(∀x∈I) arcsin(sin(x)) =x; (b) donner un intervalleJ deRtel que :
(∀y∈J) sin(arcsin(y)) =y.
3. Calculer les nombres suivants : arcsin
sinπ 3
; arcsin
sin
−5π 4
; arcsin
sin 13π
6
. 4. Soitx∈[0, π]. Simplifier l’´ecriture de :
arcsin(cos(x)).
5. Soitx∈[−π, π]. Simplifier l’´ecriture de :
arcsin(sin(x)).
On scindera l’´etude en plusieurs parties.
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