Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚6 Fonctions usuelles (partie 2)
Exercice 55 (Fonction x7→xx) Soitf la fonction d´efinie par :
f:x7→xx. 1. D´eterminer le domaine de d´efinitionDf de la fonction f.
2. Justifier que la fonctionf est d´erivable surDf. Qu’en d´eduire quant `a sa continuit´e ? 3. ´Etudier les variations def.
4. En d´eduire quef admet un minimum, atteint en un unique point que l’on pr´ecisera.
5. ´Etudier les limites ´eventuelles def aux bornes deDf.
Exercice 56 (L’´equation x2+ 2x= 2 poss`ede 2 solutions sur R) Soitf la fonction d´efinie par :
f:x7→x2+ 2x−2.
1. Justifier quef est d´efinie surR.
2. Justifier que la fonctionf est d´erivable surR.
3. Calculer f′(x) pour toutx∈R.
4. D´emontrer quef′ est strictement croissante surR.
5. En d´eduire quef′ s’annule en un unique pointα∈R.
6. D´emontrer queα∈]−1,0[.
7. Dresser le tableau de variation def surR.
8. ´Etudier les limites ´eventuelles def aux bornes de son intervalle de d´efinition.
8. D´eduire de cette ´etude que l’´equationx2+ 2x= 2 d’inconnuex∈Radmet (exactement) 2 solutions.
Exercice 57 (Valeurs d’arccosinus)
1. Calculer arccos (−1), arccos (0) et arccos 12 . 2. Calculer arccos cos π4
, arccos cos 7π6
et arccos sin −13π4 . 3. Soitx∈[π,2π]. Simplifier arccos(cos(x)).
Exercice 58 (Valeurs d’arctangente) Calculer arctan (1), arctan (0), arctan
−√33 .
Exercice 59 (Lien entre arccos etarcsin) Soitf la fonction d´efinie par :
f:x7→arccos(x) + arcsin(x).
1. Pr´eciser le domaine de d´efinitionDf def. 2. D´eterminer le domaine de d´erivabilit´eD′f def. 3. Calculer f′(x) pour toutx∈ D′f.
4. En d´eduire que pour tout x∈[−1,1] :
arccos(x) + arcsin(x) = π 2.
1
Exercice 60 (Simplification de arctan(x) + arctan(x1)pour x∈R∗) Soitf la fonction d´efinie par :
f:x7→arctan(x) + arctan 1
x
. 1. Pr´eciser le domaine de d´efinitionDf def.
2. D´eterminer le domaine de d´erivabilit´eD′f def. 3. Calculer f′(x) pour toutx∈ D′f.
4. En d´eduire que pour tout x∈R∗ :
arctan(x) + arctan 1
x
=
π
2 si x >0
−π
2 si x <0.
Exercice 61 (Expression de la restriction de arcsin`a ]−1,1[en fonction de arctan) 1. Soitf la fonction d´efinie par :
f: ]−1,1[→R; x7→ x
√1−x2. (a) Justifier quef est d´erivable sur ]−1,1[.
(b) Calculer f′(x) pour toutx∈]−1,1[.
2. Soitg la fonction d´efinie par :
g: ]−1,1[→R; x7→arctan x
√1−x2
. (a) Justifier queg est d´erivable sur ]−1,1[.
(b) Calculer g′(x) pour toutx∈]−1,1[.
3. En d´eduire que pour tout x∈]−1,1[ :
arcsin(x) = arctan x
√1−x2
.
Exercice 62 (Simplification de Argch
q1+ch(x) 2
−x2 pour x∈R) Soitx∈R.
1. Calculer ch2(x2) et exprimer le r´esultat en fonction de ch(x).
2. Simplifier
Argch
r1 + ch(x) 2
!
−x 2. On pourra distinguer plusieurs cas.
Exercice 63 (Forme logarithmique de Argth) Montrer que pour toutx∈]−1,1[ :
Argth(x) = 1 2 ln
1 +x 1−x
.
2
