Enoncé E678 (Diophante) Quatre, cinq, six. . . couleurs
On colorie avec quatre couleurs distinctes les points des côtés d’un triangle rectangle isocèle dont les côtés de l’angle droit sont de longueur unité. Déterminer la plus petite distance possible qui sépare les deux points monochromatiques les plus éloignés l’un de l’autre.Mêmes questions avec cinq couleurs et six couleurs.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
CoordonnéesA(0,0),B(1,0), C(0,1) pour le triangle donné.
Quatre couleurs
Délimitées par les points D(√
2−1,0), E(2−√ 2,√
2−1), F(√
2−1,2−√
2), G(0,√ 2−1).
Les couleurs couvrent respectivement les partiesDBE, EF, F CE, GAB du périmètre, et
EF < GA = AD < DE = F G < GD = DB = BE = F C = CG= 2−√
2.
Cinq couleurs
Délimitées par les points H(1/2,0),I(2/3,1/3), J(1/3,2/3), K(0,1/2).
Les couleurs couvrent respectivement les parties AH, HBI, IJ, J CK,KA du périmètre, et
HI =J K < BI =IJ =J C < AH =HB =CK =KA= 1/2.
Six couleurs
Délimitées par les points I, J ci-dessus et L(1/3,0), M(2/3,0), N(0,2/3) etP(0,1/3).
Les couleurs couvrent respectivement les parties LM, M BI, IJ, J CN,N P, P AL du périmètre, et
1/3 = AL = LM = M B = M I = CN = N P = P A < BI = IJ=J C =P L=√
2/3.
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