E131. Le jeu des suites

E131. Le jeu des suites

Problème proposé par Raymond Bloch

Le jeu des suites se joue avec n ≥3 personnes. Chaque personne écrit sa propre suite de nombres réels selon la règle suivante: pour commencer, elle choisit un nombre réel > 0 comme premier terme de sa suite qu'elle fait connaître à tous les participants puis elle calcule le second terme en faisant la somme des termes choisis précédemment par les n

1 personnes.Ce second terme est également annoncé à tous. Et ainsi de suite, au k-ième

‒

tour, elle calcule le k-ième terme de sa suite en calculant la somme des termes calculés par les n 1 personnes au tour précédent.‒

Q1 Zig entouré de ses sept camarades commence par écrire un entier N puis au tour suivant il écrit à nouveau un entier. Quelques tours plus tard,il il obtient le nombre entier 2017. Calculer N et en déduire le 7-ième terme de la suite de Zig.

Q2 Certains camarades de Zig en nombre p quittent le groupe. Tous ceux qui restent recommencent le jeu des suites. Zig choisit à nouveau l'entier N retenu dans le premier jeu. Il constate qu'au deuxième tour c'est le même entier que précédemment et

quelques tours plus tard l'entier 2017 fait à nouveau son apparition. En déduire p.

Question 1 :

Au premier tour, Zig annonce N et les 7 autres leur nombre.

Au second tour, Zig énonce la somme S1 des autres nombres (qui est entière) . Les autres annoncent la somme S1 plus N moins leur propre nombre.

Au troisième tour, Zig énoncera donc S2 = 7 ( S1 + N ) - S1 Et les autres : S2 + S1 moins leur nombre

De la même façon, au troisième tour, S3 = 22 ( S2 + S1 ) -S2 La seule solution pour énoncer 2017 au quatrième tour est

N = 4 , tandis que la somme des autres nombres est 43.

Question 2 :

En partant de 4 avec une somme des autres joueurs égale à 43, on calcule vite qu'il ne reste que

deux joueurs en face de Zig. P = 5 et Zig énoncera 2017 au 8e tour.