MARS 2010 PROBLEME I 151
Soient S1,S2,S3 les symétries d’axes BC,CA,AB. Définissons les points: Z1 = S1(Z), Z2 = S2(Z1), Z3 = S3 (Z2) Z est intérieur au triangle ABC équilatéral. Z3 est intérieur au triangle équilatéral A3B3C3 image du triangleABC par la composée S3S2S1.
Quels que soient les points DEF sur les côtés BC,CA,AB du triangle ABC, nous avons les égalités de longueurs : ZD+DE= Z1D+DE, Z2E+EF= Z1E+EF, Z3F+FP = Z2F+FP
Pour minimiser le trajet ZDEFPZ sachant que PZ est imposé, il faut minimiser ZDEFP, et pour cela, il faut Z1DE alignés, Z2EF alignés, et Z3FP alignés. Le minimum du trajet ZDEFP vaut Z3P .
Clairement Z3P < A3C. Soit L la longueur des côtés de nos triangles équilatéraux. (A3C ) 2 = 25/4 L2+ 3/4L2 = 7L2 A3C = 71/2 L soit 926,013 mètres.
Si Z est très proche de A, et P très proche de C, le trajet Z3PZ mesure presque 926+350= 1276 mètres, à peine plus que les 1275 m de l’énoncé !
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Problème restreint :
Z varie sur la médiatrice de BC, P varie sur la médiatrice de AB, De plus ZP parallèle à AC. On pose AZ = 2t.
Vecteur A3Z3 : (31/2 t, t), Vecteur AZ : (31/2 t,- t), Vecteur CP : (-31/2 t, -t),
Vecteur Z3P : (5L/2-2*31/2 t, 31/2 L/2 – 2t )
(Z3P) 2 = 7L2 + 16t2 – ( 10+2)*31/2 Lt ZP = L - 2*31/2 t Dans ces conditions, si la longueur du trajet est Z3P+PZ est 1275, [ 857500 + 16t2 - 4200*31/2 * t ]1/2 + 350 - 2*31/2 t = 1275 La résolution approchée donne t = 0.137 .
Ce qui place Z et P respectivement sur les médiatrices de BC et AB, avec AZ = CP = 2t , à peu près égal à 27,4 cm
Si on immobilise Zig en ce point, on peut modifier la position de Puce sans changer la longueur du trajet ZDEFPZ en déplaçant Puce sur un arc d’ellipse de foyers Z et Z3, en restant à l’intérieur du triangle ABC.
