Devoir de math´ ematiques n
o8 - 1` ereS
11 mars 2010 - 1H
Exercice 1 (4 points)
Dans un rep`ere orthonormal (O;−→ i ,−→
j ) , on consid`ere les pointsA(−1;−2), B(2; 4) et C(6; 2).
1. Calculer une valeur approch´ee de l’angle \BAC.
2. D´emontrer queABC est un triangle rectangle enB.
Exercice 2 (5,5 points)
ABC est un triangle quelconque,
BAE etCAF sont deux triangles rectangles isoc`eles.
On note AB=c,AC =b et\BAC =α.
1. Calculer−→
AE.−→
AC et−−→ AB.−→
AF en fonction de b,c etα; en d´eduire que −→
AE.−→
AC =−−→ AB.−→
AF. 2. On noteI le milieu de [BC] ; montrer que (AI) et (EF) sont deux droites perpendiculaires.
(d´ecomposer par la relation de Chasles−→
AI et−−→
EF)
Exercice 3 (5,5 points)
Soient deux points du planA etB tels que AB= 2.
1. D´eterminer et tracer l’ensembleE1 des pointsM du plan tels que −−→
AM .−−→
AB =−2.
2. D´eterminer et tracer l’ensembleE2 des pointsM du plan tels que −−→
M A.−−→
M B = 1.
Exercice 4 (5 points)
ABC est un triangle tel queAB= 2 etAC = 4 ;
de plus,H est le pied de la hauteur issue deA, et AH = 1.
1. Calculer−−→ AB.−→
AC. (d´ecomposer −−→
AB ou−→
AC par la relation de Chasles).
2. Calculerk3−−→
AB+ 2−→
ACk.
