On considère la fonction dénie sur[1

ECE 1 MATHEMATIQUES

Devoir Maison 7 5 mars 2012

Exercice I.

On considère la fonction dénie sur[1; +∞[parf(x) = 1 ln(x)2

+ 3.

1. Montrer que f est une bijection de[1; +∞[sur un intervalleJ à déterminer, et exprimer f⁻¹. 2. Calculer f⁻¹0

. Problème.

Dans toute la suite de l'énoncé, nest un entier supérieur ou égal à3.

Une élection comporte trois candidats, etnvotants. Tout candidat qui a obtenu au moins une voix est élu.On suppose que chaque votant choisit un candidat au hasard, de façon équiprobable, et indépendam- ment du choix des autres votants.

∀k∈[[1;n]], on considère les évènements :

U_k={Après dépouillement desk premiers bulletins, exactement un candidat a obtenu des voix}, V_k={Après dépouillement des k premiers bulletins, exactement deux candidats ont obtenu des voix}, Wk ={Après dépouillement des kpremiers bulletins, les trois candidats ont obtenu des voix}.

On pose également uk=P(Uk), vk=P(Vk) et wk=P(Wk).

Partie A.

1. a. Préciser u₁, v₁ et w₁. b. Justier les égalités u2 = 1

3, v2= 2

3 et w2 = 0.

(indication : introduire des évènements pour décrire U2, V2 etW2.)

2. a. A l'aide de la formule des probabilités totales, exprimer vk+1 en fonction de uk, vk et w_k.

b. Donner de même uk+1 et wk+1 en fonction de uk, vk et wk. c. Vérier que



 u_k+1 v_k+1 wk+1



=M



 u_k v_k wk



, où l'on a M =







1

3 0 0

2 3

2 3 0 0 ¹₃ 1





. d. En déduire que



 u_n v_n wn



=Mⁿ⁻¹



 u₁ v₁ w1



. Partie B.

Soit la matrice A=





1 0 0 2 2 0 0 1 3



. 1. Calculer A².

2. Montrer qu'il existe des suites réelles (ak)k∈[[1;n]], (bk)k∈[[1;n]] et (ck)k∈[[1;n]] telles que

∀k≥1, A^k =





1 0 0

a_k 2^k 0 bk ck 3^k



 et







a_k+1 =a_k+ 2^k+1 b_k+1 =b_k+ 2c_k ck+1 = 2ck+ 3^k

1/2

3. a. Calculer de deux façons la somme

k−1

X

j=1

(a_j+1−a_j), et en déduire que a_k = 2^k+1−2.

b. De même, calculer de deux façons la somme

k−1

X

j=1

(cj+1

2^j+1 − cj

2^j), et en déduire que c_k = 3^k−2^k.

c. Prouver que bk = 3^k−2^k+1+ 1.

4. a. Exprimer la matrice M en fonction deA. b. En déduire que u_n= 1

3ⁿ⁻¹, v_n= 2ⁿ−2

3ⁿ⁻¹ et w_n= 1−2ⁿ−1 3ⁿ⁻¹ . 5. a. Calculer les limites des suites u,v etw.

b. Ces résultats étaient-ils prévisibles ? Justier.

6. A partir de quel nombre n de votants est-on certain à 99.9% qu'au moins deux candidats sont élus ?

(On donne ln(3000)

ln(3) '7.3)

2