LM270 UPMC 2012–2013 Feuille 8
Feuille d’exercices du Chap. 8
Exercice 1. Soit(e1, . . . , en) la base canonique deCn. Montrer que les vecteurs e1, . . . , en et ie1, . . . , ien forment une base duR-espace vectorielCn et que le sous-R-espace vectoriel de Cn engendr´e pare1, . . . , en, resp.ie1, . . . , ien, est
Rn={(x1, . . . , xn)∈Cn |xs∈R, ∀s= 1, . . . , n}
resp. iRn={(iy1, . . . , iyn)∈Cn|ys∈R, ∀s= 1, . . . , n}.
Montrer queCn=Rn⊕iRn≃R2n commeR-espaces vectoriels.
Exercice 2. Soit wun nombre complexe non nul, ´ecrivonsw=u+iv=ρeiθ avecu, v∈Ret ρ∈R∗+,θ∈[0,2π[, de sorte queu=ρcosθ etv=ρsinθ.
1. Montrer que l’applicationfw:C→C,z7→wz estC-lin´eaire.
2. On consid`ereCcommeR-espace vectoriel«par restriction des scalaires», i.e. la multiplica- tionC×C→Cinduit, par restriction, une applicationR×C→C,(r, z)7→r·z=rz, qui munitCd’une structure deR-espace vectoriel : les axiomes d’espace vectoriel sont v´erifi´es car la multiplication deCest associative, distributive par rapport `a l’addition, et l’´el´ement 1∈Rest l’´el´ement neutre pour la multiplication, i.e. on a, pour toutr, s∈R,z, z′∈C: (rs)·z=r·(s·z), (r+s)·z=r·z+s·z, r·(z+z′) =r·z+r·z′, 1·z=z.
Montrer que l’applicationfw :C→ Cest R-lin´eaire, que (1, i) est une base duR-espace vectorielC, et ´ecrire la matriceM(w)defw dans la base(1, i)en fonction deuet v, puis deρet θ.
3. D´eterminer les valeurs propres de la matriceM(w). Dans quels casM(w)est-elle diagona- lisable dansM2(R)?
4. On munit R⊕Ri≃R2 du produit scalaire euclidien usuel (|), pour lequel la base(1, i) est orthonorm´ee, c.-`a.-d.,(a+bi| a′+b′i) =aa′+bb′. Dans quel cas M(w)est-elle une isom´etrie deR2? Quelle est sa nature dans ce cas ?
5. Soitσ:C→C l’applicationz 7→z. Montrer queσest R-lin´eaire (mais pasC-lin´eaire) et
´ecrire sa matrice dans la base(1, i).
6. Montrer que l’applicationgw:z7→wzestR-lin´eaire et ´ecrire sa matriceN(w)dans la base (1, i)duR-espace vectorielC. Dans quel cas est-ce une sym´etrie orthogonale ?
Exercice 3(∗). Pour toutZ=
z1
... zn
∈Cn, on noteZ =
z1
... zn
et on l’appelle le conjugu´e du
vecteurZ. Remarquons quezZ=zZpour toutz∈C.
1. Montrer que si v1, . . . , vr ∈ Cn sont lin´eairement ind´ependants, il en est de mˆeme des vecteursv1, . . . , vr.
2. Pour toutB∈Mn(C), montrer queB·Z =B·Z.
D´esormais, on fixe une matriceA ∈Mn(R)⊂Mn(C) et l’on note φl’endomorphisme de Cn d´efini par A; commeA∈Mn(R)on a doncφ(Rn)⊆Rn.
3. Montrer que si λ ∈ C est valeur propre de A, il en est de mˆeme de λ. (Consid´erer le polynˆome caract´eristiquePA(X)∈R[X].) Par cons´equent, les valeurs propres, deux `a deux distinctes, deA dansCsont de la formeα1, . . . , αp, λ1, λ1, . . . , λq, λq, avec α1, . . . , αp∈R et lesλk ∈C−R.
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Feuille 8 UPMC 2012–2013 LM270
4. Soitα∈Rune valeur propre r´eelle deAet soitVα={w∈Cn |Aw=α w}l’espace propre associ´e. Montrer que siw =u+iv (avecu, v∈Rn) appartient `a Vα, alorsu, v∈Vα. En d´eduire qu’il existe des vecteurst1, . . . , td ∈Rn formant une C-base de Vα. (Indication : montrer queVα est engendr´e commeC-espace vectoriel par des ´el´ements deRn.)
5. Soit λ = a+ib ∈ C−R une valeur propre non r´eelle de A et soit (w1, . . . , wr) une C-base de Vλ = {w ∈ Cn | Aw = λw}. Montrer que (w1, . . . , wr) est une C-base de Vλ ={w ∈Cn |Aw =λw}. (Indication : montrer quedimCVλ ≤dimCVλ puis ´echanger les rˆoles deλetλ.) Puis, ´ecrivantwk =uk+ivk avecuk, vk∈Rn, montrer que les vecteurs (u1, v1, . . . , ur, vr) engendrent le C-espace vectoriel Eλ = Vλ ⊕Vλ, donc en forment une C-baseCλ. Enfin, ´ecrire la matrice dans cette base de la restrictionφλ deφ`aEλ.
6. On suppose queAest diagonalisable dansMn(C), i.e. que Cn=Vα1⊕ · · · ⊕Vαp⊕Eλ1⊕ · · · ⊕Eλq.
Montrer que les n ´el´ements de Rn construits dans les questions 4) et 5) engendrent le C-espace vectoriel Cn, donc sont lin´eairement ind´ependants sur C, a fortiori sur R, donc forment une base C de Rn. Puis, ´ecrivantλℓ =aℓ+ibℓ, ´ecrire la matrice de φ dans cette base.
Exercice 4(∗). SoientK un corps,kun sous-corps deK, et E, F desK-espaces vectoriels.
1. Montrer queEest«par restriction des scalaires»unk-espace vectoriel, c.-`a.-d., que la loi externeK×E→Einduit, par restriction `ak×E, une applicationk×E→E,(λ, x)7→λ·x, qui munitE d’une structure dek-espace vectoriel.
2. Montrer que toute applicationK-lin´eairef :E→F est aussik-lin´eaire, lorsqu’on consid`ere E etF comme desk-espaces vectoriels au moyen de la question 1.
Exercice 5. On consid`ere l’applicationφ:Mn(C)×Mn(C)→Cd´efinie parφ(A, B) = Tr(AtB).
1. Montrer que pour toutA= (aij)1≤i,j≤n∈Mn(C), on aTr(A) = Tr(A).
2. Montrer queφest une forme hermitienne surE=Mn(C).
3. Pour touti= 1, . . . , n, calculer le terme d’indice(i, i)deAtA. En d´eduire queφest d´efinie positive.
Exercice 6. On munitC3du produit scalaire hilbertien(|)usuel.
1. Dire sans calcul, en citant un r´esultat du cours, pourquoi les matrices suivantes sont dia- gonalisables dans une base orthonorm´ee ; puis, pour chacune, calculer les valeurs propres et d´eterminer une base orthonorm´ee de vecteurs propres :
A=
4 i i
−i 4 1
−i 1 4
B=
1 0 i
0 1 −1
−i −1 1
.
2. (∗)Mˆeme question pour la matriceC=
0 1 i
−1 0 −1
i 1 0
.
Exercice 7. On munit C3 du produit scalaire hilbertien ( | ) usuel. Montrer que la matrice suivante est unitaire et donner une base orthonorm´ee de vecteurs propres :
M = 1 3
1 + 2i 1 +i 1 +i
−1−i 1 + 2i 1−i
−1−i 1−i 1 + 2i
.
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