Séance 14/11/06

(1)

R-ALG` EBRES DE LIE SEMI-SIMPLES (SUITE) S´ EANCE DU 14/11

Commen¸cons par réparer un oubli dans la section précédente.

4.4. Astuce unitaire de Weyl. — SoitguneC-alg`ebre de Lie semi-simple.

D’après le théorème 4.16, il existe une forme compacte u₀ de g (et on verra plus bas queu₀ est unique à isomorphisme près).

D’après le théorème 2.23 (7 novembre), il existe un groupe de Lie compact semi-simple 1-connexe G₀ tel que Lie(G₀) = u₀. Soit φ : g → End(V) une représentation de g dans un C-espace vectoriel de dimension finie V ; notons φ₀ sa restriction à u₀. Comme G₀ est 1-connexe, il existe une représentation ρ: G₀ →GL(V) telle quedρ=φ(2.12). Alors, on sait queρest complètement réductible (cours d’Introduction, 19/9, Prop. 4.1). Donc

V = V₁L

· · ·L V_n,

où chaque V_i est un C-sous-espace vectoriel stable par ρ(G₀), irréductible comme G₀-module. Chaque V_i est irréductible comme u₀-module, car si W_i est un sous-u₀-module non nul de V_i, alors W_i est stable par G₀ (1.36, 6/11), donc W_i = V_i.

De plus, comme V_i est un C-sous-espace vectoriel, il est stable par g = u₀⊗_RC. Donc chaque V_i est un sous-g-module de V, irréductible puisqu’il l’est déjà commeg₀-module. On a donc obtenu le théorème suivant.

Théorème 4.18(Weyl’s unitarian trick). — Soit g une C-algèbre de Lie semi- simple. Toute représentation de dimension finie de gest complètement réduc- tible.

Remarque 4.19. — On dispose aussi de preuves algébriques de ce théorème, voir [BL1, §6.2] ou [Hu,§6.3] pour une preuve élémentaire, ou [Di74, 1.6.3]

et [Va,§3.12-13] pour une preuve cohomologique.

(0)version du 1/12/06

(2)

5. Involutions et d´ecompositions de Cartan

5.1. Conjugaison par rapport `a une forme r´eelle. —

Définition 5.1. — Soit g une C-algèbre de Lie et soit g₀ une forme réelle de g (ou, de fa¸con équivalente, soientg₀ une R-algèbre de Lie et g =g₀⊗_RC).

Alors,

g^R=g₀L ig₀

et l’on d´efinit la conjugaison par rapport `a g₀ par σ(X +iY) = X−iY, ∀X,Y ∈g₀.

Alorsσ²= id, etσ estR-linéaire et préserve le crochet de Lie, c.-à-d., c’est un automorphisme involutif de l’algèbre de Lieg^R. De plus,σ estC-semi-linéaire, c.-à-d., pour tout Z∈g, on a

σ(iZ) =−iσ(Z), d’o`u σ(λZ) =λZ, ∀λ∈C.

On résume ces propriétés en disant queσ est une involution semi-linéaire de g.

Réciproquement, soit τ une telle involution semi-linéaire de g, c.-à-d., un automorphisme involutif de R-algèbre de Lie qui vérifieτ ◦J =−J◦τ, où J désigne l’opérateur de multiplication pari. Notonsg^τ etg^τ,− les invariants et anti-invariants deτ, c.-à-d., les sous-espaces propres associés à la valeur propre 1, resp.−1. Alors

g=g^τL g^τ,−,

et comme τ est un automorphisme deR-alg`ebre de Lie, on a [g^τ,g^τ]⊆g^τ, [g^τ,−,g^τ,−]⊆g^τ, [g^τ,g^τ,−]⊆g^τ,−.

Doncg₀:=g^τ est une sous-algèbre etg^τ,− est ung₀-module. De plus, comme τ i = −iτ, on voit facilement que la multiplication par i échange g^τ et g^τ,−, c.-à-d., on a

g^τ,− =ig₀ d’o`u g=g₀L ig₀.

Doncg₀ est uneR-forme degetτ est la conjugaison associée. En conclusion : se donner une forme réelle degéquivaut à

se donner une involution semi-lin´eaire de g.

Notation 5.2. — On note Aut_C(g) le groupe des automorphismes (C-linéaires) de la C-algèbre de Lie g, et Aut⁰_C(g) sa composante connexe. C’est un sous- groupe fermé de Aut_R(g^R), resp. de Aut⁰_R(g^R).

Lemme 5.3. — Soient g₀ et g₁ deux formes réelles de g, et soient τ₀, τ₁ les conjugaisons associées. Alors g₀ etg₁ sont isomorphes (comme R-algèbres de

(3)

Lie)si et seulement siτ₀etτ₁ sont conjugu´ees sousAut_C(g), c.-`a-d., s’il existe φ∈Aut_C(g) tel que

φ◦τ₀◦φ⁻¹ =τ₁.

D´emonstration. — Supposons que ψ : g₀ → g₁ soit un isomorphisme de R- alg`ebres de Lie. Alorsψ induit unC-isomorphisme φ:

g=g₀⊕ig₀ −→^∼ g₁⊕ig₁ =g, x₀+iy₀ 7→ψ(x₀) +iψ(y₀),

et l’on aτ₁ =φ◦τ₀◦φ⁻¹. Réciproquement, siφ∈Aut_C(g) vérifie cette égalité, alors φ induit un R-isomorphisme de g₀ = g^τ⁰ sur g^τ¹ = g₁. Le lemme est démontré.

Proposition 5.4(Involutions qui commutent). — Soient g₁ et g₂ deux formes réelles de g, et τ₁, τ₂ les conjugaisons associées. On a les équivalences :

τ₁τ₂ =τ₂τ₁⇔τ₁(g₂) =g₂⇔τ₂(g₁) =g₁.

Démonstration. — Si τ₁τ₂ =τ₂τ₁ alorsτ₁ laisse stable les espaces propres de τ₂, d’où τ₁(g₂) =g₂, et de mêmeτ₂(g₁) =g₁.

Réciproquement, supposons que τ₁(g₂) = g₂. Comme τ₁τ₂ et τ₂τ₁ sont C- linéaires, il suffit de vérifier qu’ils co¨ıncident surg₂, puisque g=g₂⊗_RC. Et commeg₂ est stable parτ₁, on a

g₂ =g^τ₂¹ ⊕g^τ₂¹^,−.

Surg^τ₂¹, on aτ₁τ₂= id =τ₂τ₁, et sur l’autre facteur on a τ₁τ₂=−id =τ₂τ₁.

Ceci montre que τ₁ et τ₂ commutent. La proposition en d´ecoule.

5.2. Existence d’une décomposition de Cartan. — Soient g une C- algèbre de Lie semi-simple,g₀ une R-forme deg, et σ la conjugaison associée.

On a vu (13/11, 4.16) que g poss`ede une forme compacte u. Notons τ la conjugaison associ´ee.

Théorème 5.5. — Soient g uneC-alg`ebre de Lie semi-simple, g₀ et u deux R- formes de g, avec u compacte. Soient σ et τ les conjugaisons associ´ees. Il existe φ∈Aut⁰_C(g) tel que

φτ φ⁻¹ commute `a σ,

c.-`a-d., tel que g₀ soit stable parφτ φ⁻¹, qui est la conjugaison par rapport `a la forme compacte φ(u).

D´emonstration. — Soit K la forme de Killing deg. On pose, pour X,Y ∈g, K_τ(X,Y) =−K(X, τ(Y)).

Lemme 5.6. — K_τ est une forme hermitienne d´efinie positive.

(4)

Démonstration. — Il est clair que K_τ est C-linéaire (resp. semi-linéaire) en la première (resp. deuxième) variable. Montrons qu’elle vérifie la symétrie hermitienne, c.-à-d.,

∀X,Y∈g, K_τ(Y,X) = K_τ(X,Y).

Posant X =τ(Z) et utilisant la symétrie de K, ceci équivaut à l’égalité

∀X,Z∈g, K(Y,Z) = K(τ(Y), τ(Z)).

Comme τ est C-semi-linéaire, les deux termes sont des applications C- bilinéaires, donc il suffit de vérifier l’égalité sur une base de g. Or, pour X,Y∈u, on aτ(Y) = Y, τ(Z) = Z, et

K(Y,Z) = K_u(Y,Z)∈R,

d’où l’égalité désirée. Ceci prouve que K_τ est une forme hermitienne. Pour montrer qu’elle est définie positive, il suffit de montrer que K_τ(X,X) > 0 lorsque X parcourt une base deg. Or, pour tout X∈u, on a

K_τ(X,X) =−K(X,X) =−K_u(X,X)>0,

puisque K_u est définie négative (caru est une forme compacte). Le lemme est démontré.

Poursuivons la démonstration du théorème 5.5. Posons N =στ. Alors N est C-linéaire et est donc unC-automorphisme d’algèbre de Lie deg, donc N fixe K (7/11, Lemme 2.20). Observons que N⁻¹ =τ σ. Alors, pour tout X,Y∈g,

K_τ(NX,Y) =−K(NX, τY) =−K(X, τ στY) = K_τ(X,NY).

Ceci montre que N est un opérateur hermitien (c.-à-d., auto-adjoint) pour le produit scalaire hermitien K_τ. Par conséquent, N est diagonalisable, à valeurs propres réelles, non nulles puisque N est inversible.

Pour toute la suite, on fixe une base B= (e₁, . . . , e_n) de g dans laquelle N est diagonale, et l’on consid´erera des matrices relativement `a cette base. Pour commencer, soit

P = N²,

c’est une matrice diagonale dont les coefficients diagonauxλ₁, . . . , λ_nsont des r´eels >0. On peut donc consid´erer leur logarithmeµ_i = log(λ_i) et la matrice diagonale

D :=





µ₁ · · · 0 ... . .. ...

0 · · ·µ_n



.

(5)

Pour toutt∈R, on pose alors λ^t_i = exp(tµ_i) et

P^t= exp(tD) =





λ^t₁ · · · 0 ... . .. ...

0 · · ·λ^t_n



.

Alors P^tN = NP^t, pour tout t∈R. Comme N appartient `a Aut_C(g), il en est de mˆeme de P = N². Montrons que P^t∈Aut_C(g) pour toutt∈R.

Ecrivons [e´ _i, e_j] =P_n

k=1c_i,j;ke_k. Appliquant l’automorphisme P, on obtient les ´egalit´es

∀i, j, k, (λ_iλ_j−λ_k)c_i,j;k= 0.

Donc, chaque fois que c_i,j;k6= 0 on aλ_iλ_j =λ_k et donc aussi λ^t_iλ^t_jc_i,j;k=λ^t_kc_i,j;k, ∀t∈R,

et bien sûr cette égalité est aussi vérifiée lorsquec_i,j;k = 0. Ceci montre que P^t est un automorphisme deg, pour toutt∈R. On pose alors, pour toutt,

τ_t= P^t◦τ ◦P^−t;

c’est la conjugaison par rapport `a la forme compacte P^t(u). Montrons que, pour tbien choisi,τ_t commute `aσ. Observons d’abord que

τNτ⁻¹=τ σ= N⁻¹ d’o`u τPτ⁻¹ = P⁻¹ et τP = P⁻¹τ.

Par un calcul matriciel analogue au pr´ec´edent (facile car P et P^t sont diagonales), on obtient que

∀t∈R, τP^t= P^−tτ.

Alors : ½

στ_t=σP^tτP^−t= NP^−2t,

τ_tσ = P^tτP^−tσ= P^2tN⁻¹ = N⁻¹P^2t,

la dernière égalité résultant du fait que N⁻¹ et P^2tsont diagonales, donc commutent. Donc, on voit que

στ_t=τ_tσ⇔N²= P^4t,

et comme N² = P, cette égalité est vérifiée pour t = 1/4. Par conséquent, l’automorphisme φ= P^1/4 = exp(D/4) convient. Enfin, le morphismet7→P^t («sous-groupe à un paramètre», cf. 6/11, 1.8) est à valeurs dans la composante connexe Aut⁰_C(g), doncφ∈Aut⁰_C(g). Le théorème est démontré.

Définition 5.7. — Soitg₀ uneR-algèbre de Lie semi-simple et soientg=g₀⊗_R Cet σ la conjugaison par rapport à g₀. D’après le théorème 5.5, il existe une forme réelle compacteu deg telle que la conjugaison associéeτ commute àσ, et donc laisse stableg₀. On a donc :

(∗) g₀ =g^τ₀ ⊕g^τ,−₀ = (g₀∩u)⊕(g₀∩iu).

(6)

Alors k := g₀ ∩u est une sous-algèbre de Lie de g₀, et p := g₀ ∩iu est un p-module, et l’on a [p,p]⊆k. L’involutionτ (= conjugaison par rapport à une forme compacte de gqui laisse stableg₀), ou sa restrictionτ|_g₀ àg₀, s’appelle une involution de Cartande g₀, et la décomposition associée

(∗) g₀=k⊕p=g^τ₀ ⊕g^τ,−₀

s’appelle une d´ecomposition de Cartan de g₀. On va voir dans le paragraphe suivant qu’une involution (resp. d´ecomposition) de Cartan est unique

`a conjugaison pr`es.

5.3. Conjugaison des formes compactes et décompositions de Car- tan. — Soient g₀ une R-algèbre de Lie semi-simple, g = g₀ ⊗_RC, et σ la conjugaison associée.

Théorème 5.8. — 1) Soient u₁ et u₂ deux formes réelles compactes de g, et τ₁, τ₂ les conjugaisons associées. Il existe un sous-groupe à un paramètre t7→

P^t de Aut_C(g) tel que φ= P^1/4 envoie u₂ sur u₁. Par cons´equent, toutes les formes compactes de g sont conjugu´ees par Aut⁰_C(g).

2) Si τ₁ et τ₂ commutent à σ, et définissent donc des décompositions de Cartan

g₀ =k₁⊕p₁=k₂⊕p₂,

où k_r =g₀∩u_r et p_r =g₀∩ip_r pour r = 1,2, alors P^t stabilise g₀, pour tout t ∈ R, et φ = P^1/4 envoie k₂ sur k₁ et p₂ sur p₁. Par conséquent, toutes les décompositions de Cartan de g₀ sont conjuguées par Aut⁰_R(g₀).

Démonstration. — 1) Appliquons le théorème 5.5 àu =u₂ etg₀=u₁. Alors, posant

N =τ₁τ₂, P = N²,

et introduisant comme précédemment le sous-groupe à un paramètre t7→P^t, on obtient, pour φ= P^1/4, que φ(u₂) est stable par τ₁, d’où

φ(u₂) = (φ(u₂)∩u₁)L

(φ(u₂)∩iu₁).

Or,u₂ etu₁ sont des formes r´eelles compactes deg et donc, pourx∈u₂\ {0}

ety∈u₁\ {0} on a :

K_g(iy, iy) =−K_u₁(y, y)>0>K_u₂(x, x) = K_g(x, x).

Il en résulte queu₂∩iu₁= (0), d’oùφ(u₂)⊆u₁. Commeφest bijectif etu₂,u₁ ont même dimension, on obtient

φ(u₂) =u₁. Ceci prouve 1).

2) Supposons de plus queτ₁ etτ₂ commutent à σ. Alors, il en est de même de N = τ₁τ₂ et de P = N². Se pla¸cant dans une base où N, et donc P, est

(7)

diagonale, l’égalité σP = Pσ entraˆıne, par le même calcul que dans la preuve du théorème 5.5, que

σP^t= P^tσ, ∀t∈R.

Donc chaque P^t laisse stable les espaces propres de σ, d’o`u P^t(g₀) ⊆g₀ pour tout t ∈ g₀. Par conséquent, désignant par θ_t la restriction de P^t à g₀, on obtient un sous-groupe à un paramètre

t7→θ_t, R−→Aut⁰_R(g₀).

Posons ψ = θ_1/4 = P^1/4|_g₀. Comme P^1/4 applique bijectivement u₂ sur u₁ et iu₂ suriu₁ (car chaque P^test C-linéaire), alorsψ est un élément de Aut⁰_R(g₀) qui applique bijectivementk₂surk₁etp₂surp₁. Le théorème est démontré.

5.4. Correspondance entre formes réelles et involutions de g. — Soient g une C-algèbre de Lie semi-simple, h une sous-algèbre de Cartan, R = R(g,h) le système de racines, ∆ une base de R,

(h_α)_α∈∆S

(e_β)_β∈R une base de Chevalley deg,

u₀ = L

α∈∆

Rih_αL L

β∈R⁺

(R(e_β−e_−β)⊕Ri(e_β+e_−β))

la forme compacte de gconstruite au§4.3, etτ₀ la conjugaison associ´ee.

Pour éviter des confusions dans ce qui suit, précisons la terminologie utilisée.

Définition 5.9. — 1) Une involution de u₀, resp. de g, est un ´el´ement σ de Aut_R(u₀), resp. Aut_C(g), tel queσ² = id.

2) On a vu (5.1) que se donner une forme réelleg₀ degéquivaut à se donner une involutionσdeg^Rqui est de plusC-semilinéaire, c.-à-d., qui anticommute

`a la multiplication par i.

3) Nous dirons qu’une forme réelleg₀ degestcompatible àu₀si la conjugaison associée σ commute à τ₀. D’après la proposition 5.4, ceci équivaut à dire queu₀ (resp.g₀) est stable parσ (resp. parτ₀), et dans ce cas

g₀ = (g₀∩u₀)L

(g₀∩iu₀) est une d´ecomposition de Cartan deg₀.

Observons que si g₀ est une forme r´eelle de g, alors tout γ ∈ Aut_R(g₀) se prolonge de fa¸con unique en un automorphismeγ_C∈Aut_C(g) ; par cons´equent, on a une identification naturelle :

Aut_R(g₀) ={g∈Aut_C(g)|g(g₀) =g₀}.

Ceci vaut, en particulier, pourg₀=u₀. Posons K = Aut_R(u₀) et G = Aut_C(g).

On note :{involutions deu₀}/K l’ensemble des classes de conjugaison sous K d’involutions de u₀, et l’on définit de même : {formes réelles deg}/G.

(8)

Théorème 5.10. — On a des bijections {involutions deu₀}/K↔^(†)

½formes r´eelles deg compatibles `au0

¾

/K↔ {^(∗) formes r´eelles deg}/G.

Démonstration. — D’après le théorème 5.5, toute forme réelle deg est conju- guée sous Aut⁰_C(g) à une forme réelle g₁ compatible à u₀. Soit g₂ une autre forme réelle compatible à u₀. Pour établir la bijection (∗), il faut voir que si g₁ etg₂ sont conjuguées sous Aut_C(g), alors elles le sont sous Aut_R(u₀).

Supposons donc qu’il existeφ∈Aut_C(g) tel que φ(g₁) =g₂. Alors, g₂ = (g₂∩u₀) L

(g₂∩iu₀)

=φ(g₁∩u₀)L

φ(g₁∩iu₀)

sont deux décompositions de Cartan de g₂. Donc, d’après le théorème 5.8, il existeγ ∈Aut_R(g₂) tel que

γφ(g₁∩u₀) =g₂∩u₀ et γφ(g₁∩iu₀) =g₂∩iu₀. Alorsψ:=γ_C◦φappartient `a Aut_C(g) et v´erifie :

ψ(g₁∩u₀) =g₂∩u₀ et ψ(ig₁∩u₀) =ig₂∩u₀. Comme on a, pour k= 1,2,

u₀ = (u₀∩g_k)L

(u₀∩ig_k),

il en r´esulte que ψ(u₀) =u₀, d’o`u ψ∈Aut_R(u₀). Ceci prouve que (∗) est une bijection.

Définissons maintenant la correspondance (†). Soientg₀ une forme réelle de g compatible à u₀ etσ la conjugaison associée. Alors σ laisse stable u₀, donc on peut lui associer sa restrictions=σ|_u₀. De plus, on a

(1) g₀ = (g₀∩u₀)L

i(ig₀∩u₀) =u^s₀L iu^s,−₀ . R´eciproquement, soientsune involution de u₀ et

(2) u₀ =u^s₀L

u^s,−₀

la décomposition correspondante. Alors u^s₀ est une sous-algèbre, u^s,−₀ un u^s₀- module, et l’on a [u^s,−₀ ,u^s,−₀ ]⊆u^s₀. Par conséquent

(3) g₀(s) :=u^s₀L

iu^s,−₀

est une sous-algèbre de Lie de g, et c’en est une forme réelle. Notons σ la conjugaison associée ; alors σ= 1 sur g₀(s) et σ=−1 surig₀(s) =u^s,−₀ ⊕iu^s₀, doncσ(u₀) =u₀ etσ|_u₀ =s. Ceci montre que les applications

σ7→σ|_u₀ et s7→g₀(s)

sont des bijections réciproques. De plus, elles sont clairement K-équivariantes, d’où la bijection (†). Ceci prouve le théorème.

(9)

D’autre part, toute involution s de u₀ se prolonge en une involution s_C de g, et l’on a le théorème suivant, pour lequel on renvoie à [Hel, X.1.4].

Théorème 5.11. — L’applications7→s_C induit une bijection

{involutions de u₀}/Aut_R(u₀)↔ {involutions de g}/Aut_C(g).

Ces deux théorèmes ramènent la classification des formes réelles de g à la question, purement algébrique, de la classification des classes de conjugaison d’involutions dans Aut_C(g). Cette classification est faite dans [Hel,§X.5], voir aussi [Ka, Chap. 8]. On va donner sans démonstrations, dans le paragraphe 5.6 plus bas, la classification desR-algèbres de Lie simplesg₀de«type classique».

5.5. R-alg`ebres de Lie absolument simples. — Commen¸cons par le lemme suivant.

Lemme 5.12. — SoitguneC-alg`ebre de Lie simple. Alorsg^Rest uneR-alg`ebre de Lie simple.

Démonstration. — Soit h un idéal non nul de g^R. D’après le corollaire 3.10 (séance 13/11), on sait déjà que g^R est semi-simple et l’idéal h est somme directe deR-algèbre de Lie simples. On a donc

[g,h]⊆h= [h,h], d’o`u h= [g,h].

Donc, tout H∈hs’´ecrit H =P_n

k=1[X_k,Y_k], avec X_k∈g, Y_k∈h. Alors iH =

Xn

k=1

[iX_k,Y_k]∈[g,h] =h.

Ceci montre que hest stable par multiplication par i donc est un C-id´eal de g. Commeg est simple, il vienth=g. Ceci prouve queg^Rest simple.

Donc, parmi les R-algèbres de Lie simples, on trouve les g^R, pour g une C-algèbre de Lie simple. Celles-ci sont caractérisées par les résultats suivants.

Lemme 5.13. — Soit g une C-algèbre de Lie simple. Alors g^R⊗_RC est iso- morphe à g⊕g, donc n’est pas simple. De plus, g est uniquement déterminée par g^R.

Démonstration. — On a vu que g admet au moins une forme réelle g₀, par exemple la forme déployée 4.8 (ou la forme compacte 4.16). Doncg∼=g₀⊗_RC.

CommeC⊗C∼=C⊕C, on obtient que

g^R⊗C∼=g₀⊗_R(C⊕C)∼=g⊕g.

Ceci prouve la première assertion. La deuxième découle de l’unicité des composantes simples d’une algèbre de Lie semi-simple (3.4).

(10)

Définition 5.14. — Soit g₀ une R-alg`ebre de Lie simple. On dit que g₀ est absolument simplesig₀⊗_RCest une C-alg`ebre de Liesimple.

On vient de voir que si g est une C-algèbre de Lie simple, alors g^R est une R-algèbre de Lie simple maispas absolument simple. Ceci caractérise les g^R, d’après la proposition qui suit.

Lemme 5.15. — SoientV₀ un R-espace vectoriel, V = V₀⊗_RC et τ la conju- gaison par rapport `aV₀. SoientWun sous-C-espace vectoriel etW₀= W∩V₀. Alors :

τ(W) = W⇔W = W₀⊗_RC.

D´emonstration. — L’implication⇐est claire. D’autre part, l’application com- pos´ee

W₀⊗_RC−→^f W,→V = V₀⊗_RC

est injective, donc il en est de mˆeme de f. Montrons que f est surjective si τ(W) = W. Soitx∈W. Comme W estτ-stable, alors

Re(x) := x+τ(x)

2 et Im(x) :=iτ(x)−x

2 appartiennent à W, et sont fixés parτ, donc appartiennent à W₀, et l’on a

x= Re(x) +iIm(x)∈W₀⊗_RC.

Ceci montre que f est surjective. Le lemme est d´emontr´e.

Proposition 5.16. — Soitg₀ uneR-alg`ebre de Lie simple telle que g=g₀⊗_RC ne soit pas simple. Alors

g∼=s⊕s,

où s est une C-algèbre de Lie simple uniquement déterminée, etg₀∼=s^R. Démonstration. — Notons τ la conjugaison de g définie par g₀. On sait déjà que g est semi-simple (corollaire 3.10). Soit s un idéal simple (non-abélien !) de g. Alorsτ(s) est un idéal de g, donc

s∩τ(s) et s+τ(s).

sont des id´eaux deg qui sont τ-stables, donc d’apr`es le lemme 5.15 on a : s∩τ(s) =a₀⊗_RC, s+τ(s) =b₀⊗_RC,

où a₀,b₀ sont des idéaux de de g₀, nuls ou égaux à g₀ puisque g₀ est simple.

Commes6= 0, on a b₀ 6= 0, d’o`u

b₀=g₀ et s+τ(s) =g.

D’autre part, on ne peut avoira₀=g₀, car sinon on aurait g=g₀⊗_RC⊆s, d’o`u g=s,

(11)

contredisant la non-simplicit´e deg. Donc a₀ = 0 =s∩τ(s) et l’on a g=s⊕τ(s).

Commeτ est un automorphisme deg^R, il induit un isomorphisme deR-alg`ebres de Lie

s^R−→^∼ τ(s^R) =τ(s)^R et donc on obtient des isomorphismes :

g₀⊕g₀ ∼=g^R∼=s^R⊕s^R.

Par unicité des composantes simples deg^R(3.4), on en déduit queg₀ ∼=s^R, et finalementg∼=s⊕s d’après le lemme 5.13. La proposition est démontrée.

En conclusion, on a obtenu le th´eor`eme suivant.

Théorème 5.17(L’alternative « complexe/absolument simple »)

Soit g₀ uneR-alg`ebre de Lie simple. Alors, de deux choses l’une :

1) ou bien g₀ est complexe, c.-à-d., g₀ = g^R pour une C-algèbre de Lie simple, unique à isomorphisme près ;

2)ou bien g₀ est absolument simple, et donc g₀ est une forme r´eelle de la C-alg`ebre de Lie simpleg=g₀⊗_RC.

5.6. Aper¸cu de la classification. — Pour terminer, donnons un aper¸cu de la classification des R-algèbres de Lie absolument simples classiques. Les références pour ce paragraphe sont [Ti,§IV.6.3], [Hel,§X.2] et [Kna,§I.8 &

§I.17].

Soit Hle corps (non-commutatif) des quaternions, il admet comme R-base (1, i, j, k), avec la table de multiplication suivante :i² =−1 =j² =k², et

ij =k=−ji, jk =i=−kj, ki=j=−ik.

Le centre de H est R. Pour tout x = a+ib+jc+kd, avec a, b, c, d∈ R, on pose

x=a−ib−jc−jd.

Alors, τ :x7→x est une anti-involutionde H, c.-`a-d., τ²= id et

∀x, y∈H, xy=y x.

Pour toutx∈H, on pose

Re(x) = x+x

2 Pu(x) = x−x

2 , et l’on dit que x est un quaternionpursix= Pu(x).

(12)

Pour tout n> 1, on considère Hⁿ comme un H-espace vectorielà droite, ceci afin de pouvoir écrire les endomorphismes à gauche. C.-à-d., notant (e₁, . . . , e_n) la base canonique, tout élément deHⁿ s’écrit de fa¸con unique

x= Xn

`=1

e_`x_`, avec x_`∈H.

Alors, End(Hⁿ) s’identifie à M_n(H), c.-à-d., un endomorphismeuest représenté par la matrice (α_r,s)ⁿ_r,s=1, où

u(e_s) = Xn

r=1

e_rα_r,s,

et l’on a

u(x) =





α_1,1 · · ·α_1,n ... . .. ...

α_n,1 · · ·α_n,n







 x₁

... x_n



.

Le centre de M_n(H) estRI_n, où I_n désigne la matrice identité. Ceci conduit à poser

sl_n(H) ={M∈M_n(H)|Re Tr(M) = 0};

on a M_n(H) =RI_nL

sl_n(H).

Pour toute anti-involution σ de H, on a une notion de forme hermitienne ou anti-hermitienne surHⁿ relativement `aσ : c’est une application biadditive

φ:Hⁿ×Hⁿ−→H,

qui vérifieφ(xt, yt⁰) =σ(t)φ(x, y)t⁰, pourx, y∈Hⁿett, t⁰ ∈H, ainsi que l’une des propriétés de symétrie suivantes :

φ(y, x) =

½ σ(φ(x, y)) cas hermitien ;

−σ(φ(x, y)) cas anti-hermitien . On associe `aφsa matrice

J(φ) =





φ(e₁, e₁) · · ·φ(e₁, e_n) ... . .. ... φ(e_n, e₁)· · ·φ(e_n, e_n)



;

alors, si x, y ∈ Hⁿ sont représentés, comme d’habitude, par des vecteurs co- lonnes X,Y, on a (où M^t désigne la transposée de M) :

φ(x, y) =σ(X)^tJ(φ) Y = Xn

r,s=1

σ(x_r)φ(e_r, e_s)y_s.

La condition queφsoit hermitienne, resp. anti-hermitienne, ´equivaut `a σ(J)^t= J, resp. σ(J)^t=−J.

(13)

A` σ etφ, on associe le groupe

U_σ(φ) ={A∈Aut(Hⁿ)|σ(A)^tJ A = J}

et l’alg`ebre de Lie

su_σ(φ) ={M∈sl_n(H)|σ(M)^tJ + J M = 0}.

(En fait, notant GL_n(H) = Aut(Hⁿ), on a une identification GL_n(H) =

½µA −B B A

¶

∈GL_2n(C)

¾ ,

et l’on note SL_n(H) := GL_n(H) ∩SL_2n(C). C’est un sous-groupe fermé de GL_4n(R), et son algèbre de Lie estsl_n(H). Les sous-groupes U_σ(φ) sont auto- matiquement contenus dans SL_n(H) et donc leur algèbre de Lie dans sl_n(H), ce qui explique la notation su_σ(φ).)

Il y a une notion de«similitude» entre formes hermitiennes ou anti-hermitiennes ; en particulier des formes similaires donnent des groupes et algèbres de Lie isomorphes. D’après [Ti, IV.6.3], les matrices suivantes forment un système complet de représentants des classes de similitudes de formes hermitiennes ou anti-hermitiennes, relativement à l’anti-involution t7→t deH:

F_r=

µI_n−r 0 0 −I_r

¶

, (r >0, 2r 6n) F_α=iI_n On obtient ainsi, d’une part, les groupes U(n, r,H) et alg`ebres de Lie

su(n, r,H), r >0, 2r6n,

qui sont des formes réelles de la C-algèbre de Lie simple de type C_n, notée sp_2n(C) dans le cours d’Introduction. La forme compacte estsu(n,0,H), notée su(n,H).

D’autre part, pour n> 3, on obtient le groupe U_α(n,H) dont l’algèbre de Lie su_α(n,H) est une forme réelle de la C-algèbre de Lie simple de type D_n, notée so_2n(C).

A ces groupes et algèbres de Lie construits à l’aide des quaternions, il` convient d’ajouter les groupes et algèbres de Lie «plus classiques» SL_n(R), SU(p, q), SO(p, q) et Sp(2n,R). En résumé, on obtient la table suivante, dans laquelle on a indiqué les noms qu’on trouve dans Tits [Ti] d’une part, ou dans Helgason [Hel] ou Knapp [Kna], d’autre part (ces noms diffèrent pour les groupes liés aux quaternions, et aussi pour l’indice n ou 2n du groupe symplectique).

Pour chaque type, on indique la forme déployée, la forme compacte, les autres formes (notation de Tits ou de Helgason-Knapp), et des groupes de Lie associés. Pour les séries SO, on s’autorise à répéter la forme déployée parmi la liste des autres cas.

(14)

type d´eploy´ee compacte autres

A_n−1 sl_n(R) su(n) su(p, q), sl(n/2,H)(npair)

A_n−1 SL_n(R) SU(n) SU(p, q) SL(n/2,H)(npair)

B_n so(n+ 1, n) so(2n+ 1) so(p, q) (p+q=2n+1)

B_n SO(n+ 1, n) SO(2n+ 1) SO(p, q) (p+q=2n+1)

C_n sp_2n(R) su(n,H) su(n, r,H) (T)

C_n SP_2n(R) SU(n,H) SU(n, r,H) (T)

C_n sp_n(R) sp(n) sp(p, q) (H-K)

C_n SP_n(R) SP(n) SP(p, q) (H-K)

D_n so(n, n) so(2n) so(p, q), su_α(n,H) (T)

D_n SO(n, n) SO(2n) SO(p, q), U_α(n,H) (T)

D_n so(n, n) so(2n) so(p, q), so^∗(2n) (H-K)

D_n SO(n, n) SO(2n) SO(p, q), SO^∗(2n) (H-K)

(15)

S´eance du 18/9 . . . 1

1. Groupes topologiques . . . 1

2. Interlude sur les repr´esentations de groupes finis . . . 3

3. Mesure de Haar sur un groupe compact . . . 5

3.1. Représentations régulières gauche et droite . . . 5

3.2. Int´egration invariante . . . 6

3.3. Th´eor`eme du point fixe de Kakutani . . . 6

S´eance du 19/9 . . . 9

3. Mesure de Haar sur un groupe compact (suite) . . . 9

3.4. Mesures de Radon . . . 11

3.5. Mesure de Haar sur un groupe compact . . . 12

4. Représentations unitaires et théorème de Peter-Weyl . . . 16

4.1. Repr´esentations continues . . . 16

4.2. Repr´esentations unitaires . . . 17

4.3. Op´erateurs compacts . . . 18

4.4. Op´erateurs `a noyaux . . . 19

S´eance du 25/9 . . . 21

5. L’alg`ebre des «fonctions repr´esentatives» . . . 21

5.1. Coefficients matriciels . . . 21

5.2. Fonctions repr´esentatives . . . 23

5.3. Cas des groupes compacts . . . 24

5.4. Schur, Burnside et produits tensoriels . . . 25

5.5. R´esultats sur les modules semi-simples . . . 26

5.6. Appendice : preuve du th´eor`eme de Burnside . . . 28

4. Th´eor`eme de Peter-Weyl (suite) . . . 29

4.4. Op´erateurs `a noyaux . . . 29

(16)

S´eance du 26/9 . . . 35

4.5. Une conséquence du théorème de Peter-Weyl . . . 35

6. Sous-groupes ferm´es de GL_n(R) . . . 36

6.1. Alg`ebres de Lie . . . 36

6.2. Propri´et´es de l’exponentielle . . . 36

6.3. L’alg`ebre de Lie d’un sous-groupe ferm´e de GL_n(R) . . . 39

6.4. Composante connexe d’un groupe topologique . . . 40

7. Groupes de Lie . . . 42

7.1. Variétés différentiables . . . 42

S´eance du 2 octobre . . . 45

7. Groupes de Lie (suite) . . . 45

7.1. Variétés différentiables (suite) . . . 45

7.2. «Rappels»de calcul diff´erentiel . . . 47

7.3. Espace tangent en un point à une sous-variété deR^N . . . 50

7.4. Sous-variétés définies par des équations de rang constant . . . 52

S´eance du 3 octobre . . . 55

7. Groupes de Lie (suite) . . . 55

7.5. D´erivations et champs de vecteurs . . . 55

7.6. Alg`ebre de Lie d’un groupe de Lie . . . 63

7.7. Retour aux sous-groupes ferm´es de GL_n(R) . . . 65

7.8. Morphismes de groupes et d’alg`ebres de Lie . . . 69

7.9. Repr´esentations . . . 73

Partie II : Alg`ebres de Lie S´eances du 9 et 10 octobre . . . 75

1. Algèbres de Lie : définitions et premières propriétés . . . 75

1.1. Alg`ebres de Lie, id´eaux, modules . . . 75

1.2. Alg`ebres de Lie r´esolubles ou nilpotentes . . . 80

1.3. Formes invariantes et forme de Killing . . . 82

1.4. Th´eor`eme d’Engel et applications . . . 85

2. Théorème de Lie et critère de Cartan . . . 87

2.1. Théorème de Lie et conséquences . . . 87

2.2. Poids des alg`ebres de Lie nilpotentes . . . 90

2.3. Sous-alg`ebres de Cartan . . . 93

2.4. Crit`ere de Cartan . . . 97

3. Racines d’uneC-alg`ebre de Lie semi-simple . . . 99

3.1. Racines dehdansg . . . 99

3.2. Alg`ebre enveloppante d’unek-alg`ebre de Lie . . . 102

(17)

3.3. Repr´esentations de sl₂(C) . . . 104

3.4. Retour à la preuve du théorème d’intégralité . . . 105

3.5. Passage `a unR-espace euclidien . . . 106

3.6. Le syst`eme de racines R⊂h^∗_R . . . 107

3. Racines d’uneC-alg`ebre de Lie semi-simple (suite) . . . 109

3.7. Le cas desl₂(C) . . . 109

4. Syst`emes de racines . . . 109

4.1. D´efinitions . . . 109

4.2. Syst`emes de racines de rang 2 . . . 110

4.3. Bases d’un syst`eme de racines . . . 113

4.4. Matrices de Cartan, graphes de Coxeter, diagrammes de Dynkin 115 5. Classification des graphes admissibles . . . 116

5.1. Premi`eres r´eductions . . . 116

5.2. Fin de la classification des graphes admissibles . . . 118

5.3. Classification des diagrammes de Dynkin connexes . . . 121

6. Groupe de Weyl et classification des syst`emes de racines . . . 122

Partie II : Alg`ebres de Lie S´eance du 24 octobre . . . 125

6. Groupe de Weyl et classification des syst`emes de racines (suite) . . . 125

6.1. Groupe de Weyl et conjugaison des bases . . . 125

6.2. Isomorphismes de syst`emes de racines . . . 128

6.3. Fin de la classification des syst`emes de racines . . . 128

7. Classification des C-alg`ebres de Lie semi-simples . . . 129

7.1. Le syst`eme de racines deg . . . 129

7.2. Théorème d’existence et d’unicité . . . 130

7.3. Type A_n−1 =sl_n(C) . . . 131

7.4. Types B et D : groupes orthogonaux . . . 132

7.5. Type C : groupes symplectiques . . . 135

Partie FI : Groupes et alg`ebres de Lie S´eance du 6 novembre . . . 1

1. Exponentielle et action adjointe . . . 1

1.0. Un «rappel»sur espaces tangents et diff´erentielles . . . 1

1.1. Champs de vecteurs et flots . . . 2

1.2. Exponentielle d’un groupe de Lie . . . 4

1.3. Calcul diff´erentiel sur G . . . 8

1.4. G-variétés et représentations d’isotropie . . . 9

1.5. Action adjointe . . . 10

1.6. Le yoga des -zateurs . . . 12

(18)

Partie FI : Groupes et alg`ebres de Lie

S´eance du 7 novembre . . . 17

2. Alg`ebres de Lie semi-simples compactes . . . 17

2.1. G- et g-modules . . . 17

2.2. Automorphismes et d´erivations . . . 18

2.3. R-alg`ebres de Lie semi-simples . . . 19

2.4. Revˆetements universels . . . 20

2.5. Groupes de Lie semi-simples 1-connexes . . . 21

2.6. Groupes et alg`ebres de Lie semi-simples compacts . . . 22

Partie FI : R-alg`ebres de Lie semi-simples s´eance du 13/11 . . . 27

3. Extension et restriction des scalaires . . . 27

3.1. Extension des scalaires . . . 27

3.2. Restriction des scalaires . . . 28

4. Formes réelles déployées ou bien compactes . . . 31

4.1. Bases de Chevalley . . . 31

4.2. Formes d´eploy´ees . . . 34

4.3. Formes compactes . . . 36

Partie FI : R-alg`ebres de Lie semi-simples (suite)s´eance du 14/11 . . . 39

4.4. Astuce unitaire de Weyl . . . 39

5. Involutions et d´ecompositions de Cartan . . . 40

5.1. Conjugaison par rapport `a une forme r´eelle . . . 40

5.2. Existence d’une d´ecomposition de Cartan . . . 41

5.3. Conjugaison des formes compactes et d´ecompositions de Cartan 44 5.4. Correspondance entre formes r´eelles et involutions deg . . . 45

5.5. R-alg`ebres de Lie absolument simples . . . 47

5.6. Aper¸cu de la classification . . . 49

Bibliographie . . . v

(19)

Bibliographie

[Abe] E. Abe, Hopf algebras, Cambridge Univ. Press, 1977.

[Ad] J. F. Adams, Lectures on Lie groups, Univ. Chicago Press, 1969.

[Am] Y. Amice, Les nombres p-adiques, P.U.F., 1975.

[Bl] A. Blanchard, Les corps non commutatifs, P.U.F., 1972.

[Bo] A. Borel, Linear algebraic groups, Second enlarged edition, Springer Verlag, 1991.

[BA8] N. Bourbaki, Alg`ebre, Chap. 8, 1958.

[BL1] N. Bourbaki, Groupes et alg`ebres de Lie, Chap. 1, 1971.

[BL4-6] N. Bourbaki, Groupes et alg`ebres de Lie, Chap. 4–6, 1968.

[BL7-8] N. Bourbaki, Groupes et alg`ebres de Lie, Chap. 7-8, 1975.

[BI7-8] N. Bourbaki, Int´egration, Chap. 7-8, 1963.

[BrM] J. Brian¸con, Ph. Maisonobe, Éléments d’algèbre commutative, niveau M1, Ellipses, 2004.

[BS] M. Brion, G. Schwarz, Théorie des invariants & Géométrie des variétés quotients, Hermann, 2000.

[BtD] Th. Br¨ocker, T. tom Dieck, Representations of compact Lie groups, Springer 1985 (3rd printing, 2003).

[Ca] H. Cartan, Cours de calcul différentiel, Hermann, nouvelle édition, refondue et corrigée, 1977.

[Die] J. Dieudonné, Cours de géométrie algébrique, tome 2, P.U.F., 1974.

[Di74] J. Dixmier, Algèbres enveloppantes, Gauthier-Villars, 1974 [Di81] J. Dixmier, Topologie générale, P.U.F., 1981.

[DK] J. J. Duistermaat, J. A. C. Kolk, Lie groups, Springer, 2000.

[Fa] J. Faraut, Analyse sur les groupes de Lie, Calvage & Mounet, 2005.

[Go] R. Godement, Introduction `a la th´eorie des groupes de Lie, Publ.

Math. Paris VII, 1982, et Springer, 2004.

[GH] M. J. Greenberg, J. R. Harper, Algebraic Topology, a first course, Addison-Wesley, 1981.

[Hel] S. Helgason, Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Academic Press 1978, ninth printing Amer. Math. Soc. 2001.

[Her] I. N. Herstein, Noncommutative rings, Carus Math. Monogr., 1968, nouveau tirage, 1994.

[Ho] G. P. Hochschild, The structure of Lie groups, Holden-Day, 1965, trad.

fran¸caise : La structure des groupes de Lie, Dunod, 1968.

[Ho81] G. P. Hochschild, Basic theory of algebraic groups and Lie algebras, Springer-Verlag, 1981.

[Hu] J. E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer-Verlag, 1972, third printing, revised, 1980.

(20)

[Hu2] J. E. Humphreys, Linear algebraic groups, Springer-Verlag, 1975, cor- rected 2nd printing 1981.

[Jac] N. Jacobson, Lie algebras, Wiley, 1962, Dover, 1979.

[Ka] V. Kac, Infinite-dimensional Lie algebras, Birkh¨auser 1983, 3rd edition, Cambridge Univ. Press, 1990.

[Kna] A. W. Knapp, Lie groups beyond an introduction, Birkh¨auser, 1996, 2nd edition, 2002.

[Ku] E. Kunz, Introduction to commutative algebra and algebraic geometry, Birkh¨auser, 1985.

[Laf74] J.-P. Lafon, Les formalismes fondamentaux de l’alg`ebre commutative, Hermann, 1974.

[Laf] J. Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, Presses Univ.

Grenoble, 1996.

[La] S. Lang, Algebra, Addison-Wesley, 1965. Traduction fran¸caise de la 3ème édition :Algèbre, Dunod, 2004.

[Le] D. Leborgne, Calcul différentiel et géométrie, P.U.F., 1982.

[Ma] P. Malliavin, Géométrie différentielle intrinsèque, Hermann, 1972.

[Ma1] H. Matsumura, Commutative algebra (2nd edition), The Benja- min/Cummings publishing company, 1980.

[Ma2] H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge Univ. Press, 1986, paperback edition with corrections, 1989.

[MT] R. Mneimné, F. Testard, Introduction à la théorie des groupes de lie classiques, Hermann, 1986, nouveau tirage 2005.

[Pe] D. Perrin, Géométrie algébrique - Une introduction, Inter Éditions/- CNRS Éditions, 1995.

[Pi] G. Pichon, Groupes de Lie : repr´esentations lin´eaires et applications, Hermann, 1973.

[Ro] A. Robert, Introduction to the representation theory of compact and locally compact groups, Cambridge Univ. Press, 1983.

[Ru73] W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, 1973.

[Ru75] W. Rudin, Analyse r´eelle et complexe, Masson, 1975.

[Se] J.-P. Serre, Alg`ebres de Lie semi-simples complexes, Benjamin, 1965, Complex semisimple Lie algebras, Springer, 2001.

[Se68] J.-P. Serre, Groupes de Grothendieck des schémas en groupes réductifs déployés, Publ. Math. I.H.E.S. 34 (1968), 37-52. Reproduit dans : J.-P.

Serre, Oeuvres, vol. II, pp.512-527, Springer-Verlag, 1986.

[Sw] M. E. Sweedler, Hopf Algebras, Benjamin, 1969.

[Sp] T. A. Springer, Linear algebraic groups, Birk¨auser, 1981, 2nd edition 1998.

[Ti] J. Tits, Liesche Gruppen und Algebren, Springer-Verlag, 1983.

(21)

[Va] V. S. Varadarajan, Lie groups, Lie algebras, and their representations, Prentice-Hall 1974, Springer 1984.

[Wa] F. W. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Scott & Foresman, 1971, Springer, 1983.

[Zi] R. Zimmer, Essential results of functional analysis, Univ. Chicago Press, 1990.