Fonctions d’ordre pour les alg`ebres de Hecke et les alg`ebres de Cherednik

Fonctions d’ordre pour les alg` ebres de Hecke et les alg` ebres de Cherednik

Maria Chlouveraki

Universit´e de Versailles - St Quentin

Notation

V = unC-espace vectoriel de dimension finie.

W = un groupe de r´eflexions complexe dansGL(V).

A= l’ensemble d’hyperplans de r´eflexion deW. WH = le fixateur deH∈ AdansW.

eH=|WH|.

αH= un ´el´ement deV^∗ tel queKer(αH) =H.

vH = un ´el´ement deV tel queV =H⊕CvH, etCvH stable parWH. V^reg=V \S

H∈AH.

BW =π1(V^reg/W,x0) pourx0∈V^reg. ζe=exp(2πi/e), pour e∈Z>0. e_C =e_H pour tout H∈ C, C ∈ A/W. U ={(C,j)| C ∈ A/W, 06j<e_C}.

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Alg` ebres de Hecke

Soit{q_u}_u∈U un ensemble d’ind´etermin´ees, etk:=C[{q^±1_u }_u∈U].

L’alg`ebre de HeckeHdeW surkest le quotient dek[BW] par les relations Y

06j<eH

(TH−ζ_e^j_HqH,j) = 0,

o`uTH est un g´en´erateur de monodromie autour deH, pour toutH∈ A.

Hypoth` eses

L’alg`ebreHest libre sur k, de rang|W|. Il existe une forme sym´etrisante τ :H −→kqui devient la forme sym´etrisante canonique surC[W] quand qH,j 7→1.

On a

Irr(Frac(k)H)←→Irr(W) et τ = X

E∈Irr(W)

1 sE

χE.

o`usE ∈kest l’´el´ement de Schur“g´en´erique” associ´e `a E∈Irr(W).

Si Θ :k→k est un homomorphisme deC-alg`ebres, on poseHΘ:=H ⊗kk. Soitm:= (mu)_u∈U une famille d’entiers tels que Θ(qu) =q^mu.

Siqest une ind´etermin´ee, on appelle Θ unesp´ecialisation cyclotomique, et on poseH_q,m:=H_Θ. On a

Irr(C(q)Hq,m)←→Irr(W).

Pour E ∈Irr(W), on pose

a_E =−val_q(Θ(s_E)) and A_E =−deg_q(Θ(s_E)).

Siq∈C^x etqn’est pas une racine de l’unit´e, alors CHΘest semisimple, et on a

Irr(CHΘ)←→Irr(W).

Siq∈C^x etq^e= 1 pour un certaine>1, alorsCH_Θn’est pas semisimple en g´en´eral.

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Alg` ebres de Cherednik

Soit{hu}_u∈U un ensemble d’ind´etermin´ees, etR:=C[{hu}_u∈U].

L’alg`ebre de Cherednik rationnelleHde W surR(“ent6= 0”) est le quotient de R⊗_CT(V ⊕V^∗)oW par les relations

[ξ, η] = 0 pourξ, η∈V, [x,y] = 0 pourx,y ∈V^∗

[ξ,x] =hξ,xi+X

H∈A

hξ, α_Hihv_H,xi hvH, αHi γ_H

o`u

γH= X

w∈WH\{1}





eH−1

X

j=0

det(w)^−j(hH,j−hH,j−1)



w.

L’alg`ebreHa une d´ecomposition triangulaire : R[V]⊗RR[W]⊗RR[V^∗].

Encore une fois, pour Ψ :R→C, on poseH_Ψ=H⊗_RC.

eu:=−X

H∈A e_H−1

X

j=0

X

w∈W_H

(detw)^−jw

!

Ψ(hH,j)∈Z(C[W]).

SoitE ∈Irr(W). On d´enote parc_E le scalaire avec laquelleeuagit surE, c.`a.d.

cE :=ωχ_E(eu) =χE(eu)/χE(1).

SoitOΨla cat´egorie deHΨ-modules de type fini qui sont localement nilpotents pour l’action de V ⊂C[V^∗]. Elle est une cat´egorie de plus haut poids. Ses objets standards sont

∆Ψ(E) :=HΨ⊗_C[V^∗_]oW E o`uE∈IrrW, et ils sont ordonn´es par

∆Ψ(E)<∆Ψ(F) si et seulement si cF −cE∈Z^>0. On ´ecriraE <ΨF sicF −cE ∈Z>0. De plus, le modules non-isomorphes

LΨ(E) := ∆Ψ(E)/rad(∆Ψ(E)) sont les modules simples deOΨ.

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Ensembles basiques

Il y a un foncteur exact

KZΨ:OΨ→ HΘ−mod o`u Θ(qu) =exp(2πiΨ(hu)) pour toutu∈U.

Sq(E) := KZΨ(∆Ψ(E)) and Dq(E) := KZΨ(LΨ(E)).

SiDq(E)6= 0, alorsDq(E) est simple. SoitB:={E ∈Irr(W)|Dq(E)6= 0}.

Proposition

(a) L’ensemble{Dq(E) :E ∈B} est un ensemble complet deHΘ-modules simples non-isomorphes.

(b) SiE ∈B, alors [Sq(E) :Dq(E)] = 1.

(c) Si [Sq(F) :Dq(E)]6= 0 pourF∈Irr(W) etE ∈B, alorsF =E ouE <ΨF.

Pour la preuve, on utilise que, comme KZ_Ψest exact, on a

[Sq(F) :Dq(E)] = [∆Ψ(F) :LΨ(E)] si Dq(E)6= 0.

On dit que Bestun ensemble basique par rapport `a la fonctionc.

Sif :Irr(W)→CetB⁰⊆Irr(W) comme ci-dessus, on dit queB⁰ estun ensemble basique par rapport `a la fonction f.

Dans le cas o`u Ψ(hu)∈Qpour tout u∈U, un ensemble basique par rapport `a la fonctionaestun ensemble basique canoniquedans le sens de Geck-Rouquier.

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Comparaison des ordres

On rappelle la sp´ecialisation cyclotomique

Θ :C[{q^±1_u }]→C[q^±1],qu7→q^mu.

Proposition (CGG)

Pour Ψ(hu) =mu, on a

a_E+A_E=c_E+X

H∈A eH−1

X

j=0

m_H,j.

Malheureusement les ordres impos´es par les fonctionsaetc ne sont pas compatibles en g´en´eral.

Question : Est-ce qu’il y a un ordre pour la cat´egorie OΨcompatible avec la fonction a?

Cas o` u W est un groupe de Coxeter fini

SoitW un groupe de Coxeter fini, etL:W →Zune fonction de poids, i.e., L(ww⁰) =L(w) +L(w⁰) si l(ww⁰) =l(w) +l(w⁰).

Si les conjectures (P1)–(P15) de Lusztig sont suppos´ees vraies, l’alg`ebre de Hecke cyclotomique deW d´efinie par

qH,07→q^L(sH) et qH,17→q^−L(sH), pour tout H∈ A obtient la structure d’une alg`ebre cellulaire[Geck].

Th´ eor` eme (CGG)

SoitW un groupe de Coxeter fini et Ψ :R−→Ctel que Ψ(hH,0) =λL(sH) et Ψ(hH,1) =−λL(sH) pour une fonction de poidsL:W →Zetλ∈R^>0. Soit E ∈Irr(W). On a KZΨ(LΨ(E))6= 0 si et seulement siE appartient `a l’ensemble basique canonique correspondant.

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Cas o` u W est un groupe de Coxeter fini

SoitW un groupe de Coxeter fini, etL:W →Zune fonction de poids, i.e., L(ww⁰) =L(w) +L(w⁰) si l(ww⁰) =l(w) +l(w⁰).

Si les conjectures (P1)–(P15) de Lusztig sont suppos´ees vraies, l’alg`ebre de Hecke cyclotomique deW d´efinie par

q_H,07→q^L(sH) et q_H,17→q^−L(sH), pour tout H∈ A obtient la structure d’une alg`ebre cellulaire[Geck].

Th´ eor` eme (CGG)

SoitW un groupe de Coxeter fini et Ψ :R−→Ctel que Ψ(hH,0) =λL(sH) et Ψ(hH,1) =−λL(sH) pour une fonction de poidsL:W →Zetλ∈C. Soit E ∈Irr(W). On a KZΨ(LΨ(E))6= 0 si et seulement siE appartient `a l’ensemble basique canonique “correspondant”. De plus, KZΨ(∆Ψ(E)) et isomorphe au module de cellulesWΘ(E).

Cas o` u W est un groupe de type G (`, 1, n)

Soiente∈Z>0et (s0,s1, . . . ,s<sub>`−1</sub>)∈Z<sup>`</sup>. On consid`ere HΘ d´efinie par g´en´erateurs : T₀,T₁, . . . ,T_n−1

relations : Tt0 ⁴ Tt1 Tt2 · · · Ttn−1

. (T0−ζ_e^s0)(T0−ζ_e^s1)· · ·(T0−ζe^s`−1) = 0

(Ti−ζe)(Ti+ 1) = 0, pour touti = 1, . . . ,n−1.

On posem_j :=`s<sub>j</sub>−jeetm:= (m<sub>j</sub>)<sub>06j<`</sub>. On consid`ere l’alg`ebre de Hecke cyclotomiqueHq,m avec relations :

(T₀−q^m0)(T₀−ζ_{`</sub>q<sup>m1</sup>)· · ·(T<sub>0</sub>−ζ<sub>`}^{`−1</sup>q<sup>m`−1}) = 0 (T_i−q^`)(T_i+ 1) = 0, pour tout i= 1, . . . ,n−1







Θ :q7→ζe`.

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Π^{`</sup><sub>n</sub>={`-partitions den} ↔ Irr(G(`,1,n)) ↔ Irr(Hq,m) λ= (λ<sup>(0)</sup>, . . . , λ<sup>(`−1)}) 7→ E^λ

Th´ eor` eme (Geck-Jacon)

Ensemble basique canonique↔ {`-partitions de Uglov}.

[λ] :={γ= (a,b,c)|06c6`−1,a≥1,16b6λ^(c)a }.

cont(γ) :=b(γ)−a(γ) et ϑ(γ) :=cont(γ) +s_c.

Th´ eor` eme (Dunkl-Griffeth)

Soientλ, λ⁰∈Π^`_n. Si [∆Ψ(E^λ) :LΨ(E^λ0)]6= 0, alors il existe un ordre sur les noeuds γ1, γ2, . . . , γn etγ₁⁰, γ⁰₂, . . . , γ_n⁰ de λetλ⁰ respectivement, et des entiers µ1, µ2, . . . , µn∈Z≥0tels que, pour tout 16i6n,

µi ≡c(γi)−c(γ_i⁰)mod` et µi =c(γi)−c(γ<sub>i</sub><sup>0</sup>) +`

e(ϑ(γ_i⁰)−ϑ(γi)).

Th´ eor` eme (CGG)

Soientλ, λ⁰∈Π<sup>`</sup><sub>n</sub>. Si [∆Ψ(E<sup>λ</sup>) :LΨ(E<sup>λ0</sup>)]6= 0, alors soitλ=λ<sup>0</sup> soita<sub>E</sub>λ0 <a<sub>E</sub>λ. Preuve : Soientγ etγ<sup>0</sup> des noeuds de`-partitions. On ´ecritγ≺γ⁰ si on a

ϑ(γ)< ϑ(γ⁰) ou ϑ(γ) =ϑ(γ⁰) et c(γ)>c(γ⁰).

En utilisant le r´esultat de Dunkl et Griffeth, on peut ordonner les noeuds γ1, γ2, . . . , γn etγ₁⁰, γ₂⁰, . . . , γ_n⁰ deλetλ⁰ respectivement tels que, pour tout 16i6n,

γi ≺γ_i⁰ ou γi=γ_i⁰.

Dans ce cas, on peut prouver que soitλ=λ⁰ soita_Eλ0 <a_Eλ.

Corollaire

SoitW un groupe de typeG(`,1,n),e∈Z>0, (s<sub>0</sub>, . . . ,s<sub>`−1</sub>)∈Z<sup>`</sup> et Ψ :R→C tel que Ψ(h<sub>0,j</sub>) = <sup>s</sup><sub>e</sub><sup>j</sup> −<sub>`</sub>^j = ^m<sub>e`</sub><sup>j</sup> pourj= 0,1, . . . , `−1 et Ψ(h_i,0) = ¹_e, Ψ(h_i,1) = 0 pour i= 1, . . . ,n−1. On a KZΨ(LΨ(E^λ))6= 0 si et seulement siλest une

`-partition de Uglov par rapport `a (e;s0, . . . ,s_`−1).

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