11 : Fonctions régulières sur un intervalle

Lycée Louis-Le-Grand,Paris MPSI 4– Mathématiques A. Troesch

Problème n

11 : Fonctions régulières sur un intervalle

Problème 1– Calcul approché d’une intégrale

On propose dans ce problème d’analyser l’erreur commise lors de la mise en oeuvre de différentes techniques de calcul approché d’une intégrale.

Partie I – Approximation polynomiale au bord gauche

Soitf une fonction de classeCⁿ⁺¹ sur un intervalle[α, β].

1. Justifier, pour toutℓ∈[[0, n+ 1]], l’existence du réelMℓ= sup_[α,β]|f^(ℓ)|. On conserve cette notation jusqu’à la fin du problème.

2. Justifier que le polynôme

P =

n

X

ℓ=0

f^(ℓ)(α)

ℓ! (X−α)^ℓ

est l’unique polynômeP deR_n[X]tel que pour toutℓ∈[[0, n]],P^(ℓ)(α) =f^(ℓ)(α).

3. Montrer que

Z β

α

(f(x)−P(x)) dx

6 Mn+1

(n+ 2)!(β−α)ⁿ⁺².

4. Soit f une fonction de classe Cⁿ⁺¹ sur un intervalle [a, b], et N ∈ N^∗. On subdivise l’intervalle [a, b] en N intervalles[xk, xk+1](k∈[[0, N−1]]), oùxk=a+kh, avech=^b−_N^a.

Justifier que lorsqueN tend vers+∞ Z b

a

f(x) dx=

n

X

ℓ=0

(b−a)^ℓ+1 (ℓ+ 1)!N^ℓ+1

N−1

X

k=0

f^(ℓ)(xk)

! +O

1 Nⁿ⁺¹

. 5. Commentez le casn= 0.

Partie II – Approximation polynomiale au point milieu

Avec les notations de la partie précédente, on note, pourk∈[[0, N−1]],mk le milieu de[xk, xk+1]et, pourf de classe Cⁿ⁺¹ sur[a, b],Qn,k l’unique polynôme tel que pour toutℓ∈[[0, n]], Q^(ℓ)_n,k(mk) =f^(ℓ)(mk).

1. En adaptant la preuve de la partie I, montrer que Z b

a

f(x) dx=

n

X

ℓℓ=0pair

(b−a)^ℓ+1 2^ℓ(ℓ+ 1)!N^ℓ+1

N−1

X

k=0

f^(ℓ)(mk)

! +O

1 Nⁿ⁺¹

2. En comparant Z xk+1

xk

Qn,k et Z xk+1

xk

Qn+1,k, montrer que sin est pair, etf est de classeCⁿ⁺², alors

Z b

a

f(x) dx=

n

X

ℓℓ=0pair

(b−a)^ℓ+1 2^ℓ(ℓ+ 1)!N^ℓ+1

N−1

X

k=0

f^(ℓ)(mk)

! +O

1 Nⁿ⁺²

1

3. Commenter et comparer les casn= 0 etn= 1.

Ces méthodes ne sont pas très pratiques pour de grandes valeurs dencar elles nécessitent la connaissance des dérivées successives de f. Pour cela, on leur préfère souvent des méthodes d’interpolation, ne nécessitant pas la connaissance des dérivées def.

Partie III – Méthodes de Newton-Cotes

Soit n>1. La méthode de Newton-Cotes d’ordre nconsiste à approcher sur chaque intervalle[α, β] de la subdivision l’intégrale à calculer par un polynôme interpolantf enn+ 1valeurs uniformément réparties sur le segment [α, β]. On suppose dans ce qui suit quef est de classeCⁿ⁺¹sur l’intervalle [a, b]d’intégration, donc aussi sur un intervalle[α, β]

de la subdivision. On note, pourk∈[[0, n+ 1]],yk=α+_n^k(β−α).

1. Exprimer (sous forme d’une somme) l’unique polynôme P de degré au plus n tel que pour tout k ∈ [[0, n]], P(yk) =f(yk).

2. Justifier qu’il existe des coefficientsb_n,ℓ,ℓ∈[[0, n]], indépendants def,αetβ, tels que Z β

α

P(t) dt= (β−α)

n

X

ℓ=0

bn,ℓf(yℓ).

On exprimerabn,k en fonction de l’intégrale Z n

0

t(t−1). . .(t−k−1)(t−k+ 1). . .(t−n) dt.

3. Justifier que

n

X

k=0

bn,k= 1.

4. Contrôle de l’erreur d’interpolation.

(a) Soit xun élément de[α, β] distinct desyi, etg la fonction définie sur[a, b]par

g(t) =f(t)−P(t)− q(t)

q(x)(f(x)−P(x)), oùq(t) =

n

Y

k=0

(t−yk).

Justifier que lesyisont des zéros de g. Trouver unn+ 2-ième zéro deg distinct desyi. (b) Montrer qu’il existe c∈[a, b]tel queg⁽ⁿ⁺¹⁾(c) = 0

(c) En déduire que|f(x)−P(x)|6Mn+1

n

Y

k=0

(x−y_k) (n+ 1)! . 5. Soit, pour N ∈N^∗,

IN =h

N−1

X

k=0 n

X

ℓ=0

bn,ℓf

a+

k+ ℓ n

h

, oùh=b−a N . Justifier qu’il existe un réelC_n indépendant deN, def, et de aetb, telle que

Z b

a

f(t) dt−IN

6 CnMn+1(b−a)ⁿ⁺²

Nⁿ⁺¹ .

On exprimeraC_n à l’aide de l’intégrale Z n

0 |t(t−1)·(t−n)|dt.

6. Jusqu’à la fin de cette partie, on suppose de plus que n est pair et que f est de classe Cⁿ⁺². On garde les notations du début de la partie.

(a) Montrer que Z β

α

(x−y0)· · ·(x−yn) dx= 0.

(b) En considérant P−λ(x−y0)· · ·(x−yn), montrer qu’il existe un polynôme Qde degré au plus n+ 1, tel que

Z β

α

Q(t) dt= Z β

α

P(t) dt, etQ^′(ym) =f^′(ym), oùm= ⁿ₂.

2

(c) En adaptant le raisonnement de la question 5 avecq(t) = (t−y_m)

n

Y

k=0

(t−y_k), montrer que

Z b

a

f(t) dt=IN+O 1

Nⁿ⁺²

. (d) Expliciter le casn= 2.

Partie IV – Méthode de Gauss

La méthode de Gauss est une adaptation de la méthode par interpolation de Newton-Cotes. Il s’agit d’interpoler la fonction sur chaque intervalle de la subdivision en des points répartis de façon non régulière cette fois, mais choisis de sorte à minimiser l’erreur. Il est fréquent de choisir comme points d’interpolation des racines d’une famille de polynômes. On considère dans un premier temps une fonction f de classe C²ⁿ de [−1,1] dans R, et on définit pour toutn ∈N, les polynômes Pn = (X²−1)ⁿ et Ln =Pn⁽ⁿ⁾ (à constante multiplicative près, ce sont les polynômes de Legendre).

1. (a) Montrer que pour tout k∈[[0, n]],Pn^(k)possède au moins kracines distinctes dans ]−1,1[.

(b) Justifier que les racines de Ln sont toutes simples et appartiennent à l’intervalle ]−1,1[. On les note

−1< r1< r2<· · ·< rn<1.

2. Soit Qn le polynôme de R_n−1[X] interpolantf aux points r1, . . . , rn. Justifier l’existence de réelsλ1, . . . , λn, indépendants def, tels que

Z 1

−1

Q_n(x) dx=

n

X

ℓ=1

λ_ℓf(rℓ).

On note désormaisIn(f) = Z 1

−1

Q_n(x) dxet on étudie l’erreur faite en approchantI(f) = Z 1

−1

f(x) dxparIn(f).

3. (a) Montrer que siP est un polynôme vérifiantdeg(P)< n, alorsIn(P) =I(P).

(b) Montrer que si P est un polynôme vérifiantdeg(P)<2n, alors In(P) = I(P)(on pourra comparer avec I(R), oùR est le reste de la division euclidienne deP parLn).

Ainsi, la méthode est « exacte » non seulement sur les polynômes de degré au plusn−1 (comme toute méthode d’interpolation en n point), mais aussi sur les polynômes de degré au plus 2n−1, ce qui laisse supposer une erreur bien meilleure qu’une méthode d’interpolation standard.

4. Polynôme d’interpolation de Hermite de f

(a) À tout polynôme H de l’espace vectorielR_2n−1[X], on associe l’élément deR²ⁿ suivant : ϕ(H) = (H(r1), H^′(r1), H(r2), H^′(r2), . . . , H(rn), H^′(rn)).

Établir queϕest un isomorphisme (d’espaces vectoriels) deR_2n−1[X]dansR²ⁿ.

(b) En déduire qu’il existe un polynôme Bn de degré strictement inférieur à2net un seul tel que :

∀j∈[[1, n]], Bn(rj) =f(rj) et B^′_n(rj) =f^′(rj).

5. Montrer que I(Bn) =In(f).

6. Dans cette question, on fixe x un nombre réel donné de [−1,1], distinct des nombres r1, . . . , r_n. On définit l’applicationg sur[−1,1]par la relation

g(t) =f(t)−Bn(t)−α·(P_n⁽ⁿ⁾(t))², où le réelαest l’unique réel tel queg(x) = 0.

(a) Justifier l’existence et l’unicité deα.

(b) Montrer queg^′ s’annulle en au moins2npoints distincts de]−1,1[

3

(c) En déduire l’existence dec∈]−1,1[tel que

f(x)−Bn(x) = (n!)²

((2n)!)³ ·f⁽²ⁿ⁾(c)(P_n⁽ⁿ⁾(x))². 7. En conclure que :

|I(f)− In(f)|6 M2n 2n

n

² · 2²ⁿ⁺¹ (2n+ 1)!. oùM2n désigne un majorant def⁽²ⁿ⁾sur[−1,1].

8. On suppose maintenant que f est une fonction de classeC²ⁿ sur un intervalle quelconque[α, β], et on désigne toujours parM2n un majorant de f⁽²ⁿ⁾sur l’intervalle[α, β]. Donner un majorant de

Z β

α

f(u) du−β−α 2

n

X

j=1

λjf

α+β 2 +rj

β−α 2

en fonction deM2n,n,αet β.

9. Montrer que si f est une fonction de classeC⁴ sur un intervalle[a, b], et N ∈N^∗, alors :

Z b

a

f(u) du−b−a 2N

N−1

X

k=0

f

mk− b−a 2N√

3

+f

mk+ b−a 2N√

3

6M4(b−a)⁵ 4320N⁴ , où, pour tout k dans[[0, N−1]], mk est le milieu de l’intervalle

a+_n^k(b−a), a+^k+1_n (b−a), et M4 est un majorant def⁽⁴⁾.

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