Étude globale d'une fonction sur un intervalle

Étude globale d'une fonction sur un intervalle

Cours de É. Bouchet ECS1 18 novembre 2019

Table des matières

1 Premiers points d'étude d'une fonction 2

1.1 Périodicité et symétries . . . 2

1.2 Bornes . . . 3

1.3 Monotonie . . . 4

1.4 Théorème de la limite monotone . . . 5

2 Fonctions continues sur un intervalle 6 2.1 Opérations algébriques et composition . . . 6

2.2 Prolongement par continuité . . . 7

2.3 Fonctions continues par morceaux . . . 7

3 Principaux théorèmes 8 3.1 Théorème des valeurs intermédiaires . . . 8

3.2 Théorème des bornes . . . 9

3.3 Théorème de la bijection . . . 9

Dans tout le chapitre, les fonctions considérées seront dénies sur un ensembleE ⊂R et à valeurs réelles.

1 Premiers points d'étude d'une fonction

1.1 Périodicité et symétries

Soit f une fonction dénie sur un ensembleE centré en0. On dit quef est paire lorsque∀x∈E,f(−x) =f(x). On dit quef est impaire lorsque∀x∈E,f(−x) =−f(x). Dénition (Fonction paire, impaire).

Soit f une fonction dénie sur un ensembleE centré en0.

Si f est une fonction paire, alors sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Sif est une fonction impaire, alors sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine O du repère.

Proposition.

Exemple 1. La fonction dénie surR parx7→x² est paire, alors que x7→x³ est impaire.

Soitf une fonction dénie sur un ensembleE. On dit quef est périodique quand il existe un réelT non nul tel que :

x∈E ⇐⇒x+T ∈E, et

∀x∈E, f(x+T) =f(x).

On dit alors que f estT-périodique, et le réel T est appelé une période de f. Dénition (Fonction périodique).

Exemple 2. Les fonctionsin etcossont périodiques de période 2π.

1.2 Bornes

Soit f une fonction dénie sur un ensembleE.

On dit quef est majorée lorsqu'il existe un réelM tel que∀x∈E,f(x)6M. Le réelM est alors un majorant de f surE.

On dit quef est minorée lorsqu'il existe un réelm tel que∀x∈E,f(x)>m. Le réelm est alors un minorant de f surE.

On dit quef est bornée si elle est à la fois minorée et majorée.

Dénition (Majorant, minorant).

Soit f une fonction dénie sur un ensembleE, etx0 ∈E.

On dit quef admet un maximum global en x₀ lorsque∀x∈E,f(x)6f(x₀). On note f(x0) = max

x∈E f(x).

On dit que f admet un maximum local en x₀ lorsqu'il existe un voisinage V de x₀ tel que

∀x∈V ∩E,f(x)6f(x0).

On dit quef admet un minimum global enx₀ lorsque ∀x∈E,f(x)>f(x₀). On note f(x0) = min

x∈Ef(x).

On dit que f admet un minimum local en x₀ lorsqu'il existe un voisinage V de x₀ tel que

∀x∈V ∩E,f(x)>f(x0). Dénition.

maximum global•

minimum global•

maximum local•

minimum local• maximum local•

1.3 Monotonie

Soit f une fonction dénie sur un intervalleI de R.

On dit quef est une fonction croissante sur l'intervalleI lorsque pour tout(a, b)∈I², a6b=⇒f(a)6f(b).

On dit quefest une fonction strictement croissante sur l'intervalleIlorsque pour tout(a, b)∈I², a < b=⇒f(a)< f(b).

Dénition (Fonction croissante).

Soit f une fonction dénie sur un intervalleI de R.

On dit quef est une fonction décroissante sur l'intervalleI lorsque pour tout(a, b)∈I², a6b=⇒f(a)>f(b).

On dit que f est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle I lorsque pour tout (a, b)∈I²,

a < b=⇒f(a)> f(b).

Dénition (Fonction décroissante).

Soitf une fonction dénie sur un intervalleI deR. On dit quef est une fonction monotone sur l'intervalle I lorsque f est croissante ou décroissante sur I, et que f est strictement monotone sur I si elle est strictement croissante ou strictement décroissante sur I.

Dénition (Fonction monotone).

Soit f etg deux fonctions monotones surI etf(I) respectivement. Alors g◦f est monotone sur I, et : Sif etg ont le même sens de variation, alors g◦f est croissante surI.

Sif etg ont des sens de variation opposés, alors g◦f est décroissante sur I.

Proposition (Composée de fonctions monotones).

Démonstration. Soit aetbdes éléments de I tels que a6b.

Sif etgsont croissantes sur I etf(I) :

a6b, donc f(a)6f(b), puis g(f(a))6g(f(b)). Donc g◦f est croissante surI.

Sif est croissante surI etg décroissante surf(I): a6b, donc f(a)6f(b), puis g(f(a))>g(f(b)). Donc g◦f est décroissante surI.

On traite les autres cas par la même méthode.

Remarque. On ne peut par contre absolument rien dire sur le produit de deux fonctions croissantes.

Exemple 3. Soitf etg les fonctions dénies sur R par∀x ∈R,f(x) =−1 etg(x) =−e^−x. Étudier les monotonies def,g etf×g.

Les fonctionsf etg sont croissantes sur R (f est même constante). Par contre,∀x∈R, f g(x) =e^−x donc le produit f×g est décroissant sur R.

1.4 Théorème de la limite monotone

Soitaetbdes réels tels quea < b, etf une fonction monotone dénie sur l'intervalle]a, b[. Alors pour tout point x₀ de ]a, b[,f admet une limite à gauche et à droite enx₀, et ces limites sont nies. En particulier :

Sif est croissante sur ]a, b[alors lim

x→b⁻f(x) existe et est égale à sup_]a,b[f sif est majorée sur ]a, b[,

+∞ sinon.

Sif est croissante sur ]a, b[alors lim

x→a⁺f(x) existe et est égale à inf_]a,b[f sif est minorée sur]a, b[,

−∞ sinon.

Théorème (Théorème de la limite monotone, cas croissant).

Remarque. Ce résultat reste vrai sia=−∞ou b= +∞.

Démonstration. On va montrer le résultat en b⁻, les autres cas se montrent de la même façon. Soit l'ensemble A=f(]a, b[).

Si f est majorée, l'ensembleA est non vide et majoré, et donc (théorème de la borne supérieure) possède une borne supérieure réelle M.

Sif n'est pas majorée, on poseM = +∞.

Pour montrer que la limite def enb est bienM, il sut (que bsoit ni ou non) de démontrer que pour toutm < M, il existexm ∈]a, b[tel que

∀x∈[xm, b[, f(x)∈]m, M].

Soit un réelm < M. Par dénition deM (le plus petit majorant deAdansRou+∞), le réelmn'est pas un majorant deA. On peut donc trouver un réelx_m ∈]a, b[tel quef(x_m)> m. La croissance def sur]a, b[et la dénition de M donnent alors :

∀x∈[xm, b[, m < f(xm)6f(x)6M, ce qui termine la preuve.

Remarque. On obtient de même le comportement quandf est décroissante sur ]a, b[:

lim

x→b⁻f(x) existe et est égale à

inf_]a,b[f sif est minorée sur]a, b[,

−∞ sinon.

lim

x→a⁺f(x) existe et est égale à

sup_]a,b[f sif est majorée sur ]a, b[,

+∞ sinon.

2 Fonctions continues sur un intervalle

Soitf une fonction dénie sur un ensembleE, etI un intervalle inclus dansE. On dit quef est continue sur l'intervalle I lorsque f est continue en tout point de l'intervalleI.

Dénition (Fonction continue sur un intervalle).

Exemple 4. Parmi les fonctions classiques,

Les fonctions polynômes sont continues surR, La fonctionlnest continue sur R^∗₊.

La fonctionexpest continue sur R.

Les fonctionssinetcos sont continues surR. Exemple 5. Soitf la fonction dénie surR par : f(x) =

x² si x>0

−x³ sinon . Montrer sa continuité sur R.

La fonction f est égale à une fonction polynôme sur R^∗₊ et sur R^∗₋, elle est donc continue sur ces intervalles. Reste à étudier la continuité en0 :

x→0+lim x² =f(0) = 0 = lim

x→0−−x³. La fonction est donc continue en0, et donc surR tout entier.

Attention :f est également une fonction polynôme surR₊et surR−, mais ça ne signie pas nécessairement qu'elle est continue surR₊ et surR− (R₊ donne une limite en 0₊ etR− en0−, mais ces limites pourraient ne pas être égales). Il est toujours nécessaire d'étudier le raccord en0 .

2.1 Opérations algébriques et composition

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et g une fonction continue sur un intervalleJ contenant f(I). Alorsg◦f est continue sur l'intervalleI.

Proposition (Composition de fonctions continues).

Soitf une fonction dénie sur un intervalleI, qui s'écrit comme la somme, le produit ou le quotient (si le dénominateur ne s'annule pas) de fonctions continues sur I. Alorsf est continue surI.

Proposition (Opérations sur les fonctions continues).

Démonstration. Ces deux propositions découlent directement des opérations sur les limites et des résultats sur la continuité en un point.

Soit I un intervalle de R. L'ensemble des fonctions réelles dénies et continues sur I, noté C(I), est un espace vectoriel surR.

Proposition (Espace vectoriel des fonctions continues).

Démonstration. (démonstration à connaître) On va montrer que c'est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des fonctions de dans :

La fonction nulle est continue surI, donc C(I) est non vide.

Soit f etg deux fonctions deC(I), et soit λ∈R. Par la proposition précédente, λf+g est dénie et continue sur I. Doncλf+g∈C(I).

DoncC(I) est un sous espace vectoriel de l'ensemble des fonctions de I dansR, c'est donc un espace vectoriel surR. 2.2 Prolongement par continuité

Soitx0 un réel,I un intervalle ouvert contenantx0 etf une fonction dénie surI\ {x₀}. On suppose que f est continue en tout point de I\ {x₀}et que lim

x→x₀f(x) =`∈R. On dénit surI la fonction fepar :

(

f(x) =e f(x) six6=x₀

f(xe ₀) =` .

La fonctionfeest continue enx₀ et sur I tout entier, et est appelée le prolongement par continuité de f en x0.

Dénition (Prolongement par continuité).

2.3 Fonctions continues par morceaux

Soitaetbdeux réels tels quea < b. Une fonctionf est continue par morceaux sur le segment[a, b]lorsqu'il existe une subdivision

a0 =a < a1 < . . . an=b

telle que les restrictions de f à chaque intervalle ouvert ]ai, ai+1[ sont continues et admettent un prolon- gement continu sur [a_i, a_i+1]

Dénition (Fonction continue par morceaux).

Remarque. Cela signie concrètement que pour touti∈[[1, n]],f est continue sur ]a_i, a_i+1[,f admet une limite nie à gauche ena_i+1 et une limite nie à droite ena_i.

Exemple 6. La fonction partie entière est continue par morceaux sur[−1,2].

•

•

•

3 Principaux théorèmes

3.1 Théorème des valeurs intermédiaires

Soitaetbdeux réels tels quea < b, etf une fonction continue sur l'intervalle [a, b]. Sif(a)f(b)<0alors il existec∈]a, b[tel que f(c) = 0.

Théorème (Théorème des valeurs intermédiaires, forme faible).

Remarque. Sif(a)f(b)60 alors le résultat reste vrai avecc∈[a, b].

Exemple 7. Montrer que toute fonction polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle.

On note f la fonction polynôme, et αx^p son terme de plus haut degré, avec p impair. On va traiter le cas α >0, le casα <0 se traite similairement.

lim

x→−∞f(x) =−∞. Donc il existe a∈R^∗₋ tel que f(a)<0.

lim

x→+∞f(x) = +∞. Donc il existe b∈R^∗₊ tel que f(b)>0.

Donca < bet f(a)f(b)<0. Or la fonction f est continue surR donc sur [a, b](car c'est une fonction polynôme). Le théorème des valeurs intermédiaires nous donne donc l'existence dec∈]a, b[tel quef(c) = 0, c'est-à-dire tel quecest racine def. D'où le résultat.

Soit a et b deux réels tels que a < b, et f une fonction continue sur l'intervalle [a, b]. Pour tout réel y compris strictement entref(a) etf(b), il existe un réelc∈]a, b[tel que y=f(c).

Théorème (Théorème des valeurs intermédiaires, forme forte).

Remarque. Siy est compris entref(a) etf(b) (au sens large), alors le résultat reste vrai avecc∈[a, b].

Démonstration. (démonstration à connaître) Soit y compris strictement entref(a) et f(b). Soit g la fonction dénie sur[a, b]par∀x∈[a, b],g(x) =f(x)−y. Alors

g(a)g(b) = (f(a)−y) (f(b)−y)<0.

De plus,g est continue sur[a, b]comme somme de fonctions continues. La forme faible du théorème donne l'existence dec∈]a, b[tel que g(c) = 0. Or g(c) =f(c)−y, donc cvérie f(c) =y. Ce qui termine la preuve.

Remarque. Ce théorème signie que sif est continue sur un intervalle I et si f prend deux valeurs distinctes, elle atteint toutes les valeurs (intermédiaires. . . ) comprises entre ces deux réels.

•b

• a

toutes ces valeurs sont atteintes par f

Autrement dit, l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

3.2 Théorème des bornes

Soit a etb deux réels tels que a < b et soit f une fonction continue sur l'intervalle fermé [a, b]. Alors f admet un maximum et un minimum sur [a, b].

Théorème (Théorème des bornes).

Remarque. Cela signie également quem= min

[a,b]f etM = max

[a,b] f existent et que f([a, b]) = [m, M].

Autrement dit, l'image d'un segment par une fonction continue est un segment.

3.3 Théorème de la bijection

Soitf une fonction dénie, continue et strictement monotone sur un intervalle I de R. Alors f réalise une bijection deI dans l'intervalle f(I).

Sa réciproquef⁻¹ est continue et strictement monotone sur f(I), de même sens de variation que f. Théorème (Théorème de la bijection).

Démonstration. (démonstration à connaître, sauf pour la continuité de f⁻¹)

1. f est continue sur I, donc d'après le théorème des valeurs intermédiairesf(I)est un intervalle.

f est surjective deI dansf(I)par dénition def(I).

f est strictement monotone sur I, donc deux points diérents ne peuvent pas avoir la même image parf. Doncf est injective sur I.

Donc f est bijective de I dans l'intervalle f(I).

Pour la suite, on suppose quef est strictement croissante surI (le cas décroissant se traite de la même manière).

2. Soit a et b deux éléments de f(I). Supposons que f⁻¹(a) > f⁻¹(b), composer par f donne alors a > b. Par passage à la contraposée, on vient de montrer que a < b =⇒ f⁻¹(a) < f⁻¹(b). Donc f⁻¹ est strictement croissante surf(I).

3. Montrons maintenant que f⁻¹ est continue sur f(I). Soit y0 ∈ f(I), qui s'écrit y0 = f(x0) avec x0 ∈I. On suppose que x₀ n'est pas une borne de I (sinon, il sut de modier les intervalles considérés dans la suite).

Soit ε >0 tel que [x0−ε, x0+ε]⊂I. On pose y1 =f(x0−ε) ety2 =f(x0+ε) :y1 ety2 sont dans f(I) et vérient y1 < y0 < y2 par croissance def. On pose η= min(^y0−y₂ ¹,^y2−y₂ ⁰). On a alors :

|y−y₀|6η =⇒y₁< y < y₂ =⇒x₀−ε6f⁻¹(y)6x₀+ε, puisque f⁻¹ est croissante surf(I). Donc lim

y→y0

f⁻¹(y) =f⁻¹(y0). Doncf⁻¹ est continue eny0.

Remarque. En particulier, sif est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalleI, et si b∈f(I), alors l'équationf(x) =badmet une unique solution surI.

Exemple 8. Montrer que l'équationx³−3x²+ 1 = 0possède une unique solution dans l'intervalle]2,+∞[.

On posef(x) =x³−3x²+ 1sur]2,+∞[.

C'est une fonction polynomiale donc dérivable sur]2,+∞[, avec∀x∈]2,+∞[,f⁰(x) = 3x²−6x= 3x(x+ 2)>0. Donc f est strictement croissante sur ]2,+∞[.

f est continue (car polynomiale) et strictement croissante sur]2,+∞[, donc par le théorème de la bijection, elle réalise une bijection de]2,+∞[vers f(]2,+∞[). Or lim

x→2f(x) =−3etlim

+∞f = +∞, doncf(]2,+∞[) =]−3,+∞[.

Comme0∈]−3,+∞[, il possède un unique antécédent parf, et donc l'équationx³−3x²+ 1 = 0possède une unique solution dans l'intervalle]2,+∞[.

Sif est une bijection d'un intervalleI sur un intervalleJ, les courbes représentatives def etf⁻¹ dans un repère orthonormé sont symétriques par rapport à la droite d'équationy=x.

Proposition.

Exemple 9. Cas des fonctions exponentielle et logarithme :

y= exp(x)

y= ln(x) y=x