Lycée Louis-Le-Grand,Paris MPSI 4– Mathématiques A. Troesch
Problème n
o19 : Algèbre linéaire matricielle
Problème 1– (Trigonalisation des algèbres nipotentes, d’après X 1996)
Soit K un corps. Si E et F sont deux espaces vectoriels sur K, on note L(E, F) l’espace vectoriel des applications linéaires deE dans F. Si E=F, on notera plus simplement L(E) =L(E, E)l’espace vectoriel des endomorphismes surE. Pour tout élémentude L(E, F), on noteKer(u) etIm(u) respectivement le noyau deudans E, et son sous- espace image dans F. Un élément t de L(E) est dit nilpotent s’il existe un entier positif r tel que tr = 0. La valeur minimale der est appelée indice de nilpotence det.
On appelle sous-algèbre deL(E)tout sous-espace vectoriel stable par multiplication (i.e. par composition). Une sous- algèbre A est dite commutative si l’on a st =ts pour tous s et t dans A. Enfin, A est dite nilpotente s’il existe un entier strictement positif rtel que le produit de r éléments quelconques deA soit nul. On appelle ordre de nilpotence de Ala valeur minimale der vérifiant cela.
Le but de ce problème est de montrer que toute sous-algèbre nilpotente deL(E)est simultanément s”trictement trigo- nalisable, c’est-à-dire qu’il existe une baseB (commune à tous les élémentst deA) telle que pour toutt∈ A,MatB(t) soit strictement triangulaire supérieure.
On noteTn+ le sous-espace deMn(K)formé des matrices triangulaires supérieures, etTn++ le sous-espace deMn(K) formé des matrices strictement triangulaires supérieures.
Étant donnée une décomposition E1 ⊕ · · · ⊕Ek d’un espace E, on dira que B est une base de E adaptée à cette décomposition siBest obtenue par juxtaposition de bases de E1,E2,. . .,Ek, dans cet ordre.
Toute utilisation de théorème de réduction de Jordan est illicite, ce résultat n’étant pas au programme.
Partie I – Questions préliminaires
1. SoitAune sous-algèbre nilpotente deL(E). Montrer que tout élémenttdeAest un endomorphisme nilpotent.
Comparer l’indice de nilpotence det et l’ordre de nilpotence deA.
2. SoitEun espace vectoriel de dimensionnetBune base deE. Montrer queT ={t∈ L(E)|MatB(t)∈ T++(E)}
est une sous-algèbre nilpotente deL(E), et déterminer son ordre de nilpotence.
3. En trouver une autre S, vérifiantT ∩ S={0}
4. Trouver, si n>3, une sous-algèbre nilpotente deL(E)non nulle et strictement incluse dansT.
Partie II – Le cas de la dimension 2
Dans cette partie,E est un espace vectoriel surKde dimension 2.
1. Soitt un endomorphisme nilpotent non nul deE, etrson indice de nilpotence.
(a) test-elle injective ? surjective ?
(b) Déterminer les dimensions de Ker(t)etIm(t).
(c) Construire une baseBdeEdans laquelletest représentée par la matriceMatB(t) = 0 1 0 0
!
, et préciser la valeur der.
1
2. Soit A une sous-algèbre commutative nilpotente non nulle de L(E). Soit t0 un élément non nul de A, et B= (b1, b2)telle queMatB(t0) = 0 1
0 0
! .
(a) Montrer que pour tout t∈ A,t(b1)et b1 sont colinéaires, puis quet(b1) = 0 (b) En déduire queA= Vect(t0).
3. Justifier que le résultat reste vrai siA est une sous-algèbre nilpotente non nulle de L(E), non nécessairement commutative.
Partie III – Trigonalisation des endomorphismes nilpotents
Dans cette partie,E est de dimensionn >0. On considère un endomorphismet nilpotent non nul de E, et on noter son indice de nilpotence. On poseE1= Im(t)∩Ker(t).
1. Vérifier queE1 est distinct de{0}et E.
2. Pour quelles valeurs de ra-t-onE1= Im(t)?
3. Dans cette question, on supposer>3, et on noteE2un supplémentaire deE1dansIm(t)etE3un sous-espace vectoriel supplémentaire deIm(t)dansE.
(a) Justifier queE=E1⊕E2⊕E3.
(b) SoitBune base deEadaptée à la décompositionE=E1⊕E2⊕E3. Montrer que la matrice detrelativement à la baseB admet une représentation par blocs de la forme suivante :
MatB(t) =
0 T1,2 T1,3
0 T2,2 T2,3
0 0 0
.
On précisera la taille des blocs en fonction des dimensions deE1, E2et E3. (c) Montrer queT2,2 est nilpotente, et comparer son indice de nilpotence àr.
4. En déduire qu’il existe une baseBdeEtelle queMatB(t)∈ Tn++ (i.e. soit strictement triangulaire supérieure).
5. Comparerr etn.
6. Appliquer la méthode précédente pour trouver une base Btelle que MatB(T)∈ Tn++, lorsquet est l’endomor-
phisme deR4 dont la matrice dans la base canonique est
−1 1 1 0
−3 2 3 1
2 −1 −1 0
−2 1 1 0
.
Partie IV – Trigonalisation d’une sous-algèbre nilpotente deL(E)
Dans cette dernière partie,E désigne toujours un espace vectoriel de dimension n surK.
Nous utiliserons les notations suivantes : SiX etY sont deux espaces vectoriels surK, et siZ est un sous-ensemble non vide de L(X, Y), nous désignerons parK(Z)l’intersection des noyaux des éléments de Z, et parI(Z)la somme des sous-espaces vectoriels images des éléments deZ.
On considère une sous-algèbre nilpotente non nulleA de L(E, E), où E=Kn; on note rson ordre de nilpotence et on poseE1=I(A)∩ K(A).
1. (a) Justifier que siI(A) =E, et siF est un sous-espace vectoriel strict deE, il existeu∈ Atel queIm(u)6⊂F (b) En déduire queI(A)est distinct deE
2. Vérifier queE1 est distinct de{0}et de E. 3. Pour quelles valeurs de ra-t-onE1=I(A)?
Dans la suite du problème, on supposer>3; on noteE2un supplémentaire deE1dansI(A)etE3un supplémentaire de I(A) dansE. SoitB une base adaptée à la décomposition E =E1⊕E2⊕E3, et B1, B2 etB3 les bases associées de E1,E2 et E3 respectivement.
2
4. Justifier que pour tout t∈ A, la matrice de t dans la baseB admet une représentation par blocs de la forme
0 T1,2 T1,3
0 T2,2 T2,3
0 0 0
, oùT2,2 est une matrice nilpotente.
On note Ai,j l’espace vectoriel des endomorphismes ude L(Ej, Ei) tels qu’il existe t∈ Atel queMatBj,Bi(u) =Ti,j, lesTi,j étant définis à partir det par la représentation ci-dessus.
5. (a) Vérifier queA2,2 est une sous-algèbre nilpotente deL(E2).
(b) Montrer que siA2,2 est nulle, alorsr= 3.
(c) Réciproquement, montrer que siA2,26={0}, alorsr >3.
(d) Montrer qu’il existe une baseC deE telle que tout élémenttdeAvérifieMatC(t)∈ Tn++. (e) Comparerretn.
À partir de maintenant, on suppose quer>4.
6. Montrer que l’ordre de nilpotence r′ deA2,2 est égal àr−2.
Indication : On pourra procéder par double-inégalité, en explicitant le produit denmatrices du même type que dans la question 4.
7. (a) Soit t∈ A. Soitsl’endomorphisme deE2défini par le blocT2,2de la matriceT det. Démontrer que l’on a s(I(A2,3))⊂ I(A2,3).
(b) Démontrer que l’on aI(A2,3) =E2.
Indication : On pourra montrer que pour toutk>1,E2⊂ Ik(A2,2) +I(A2,3), où Ik(Z)est la somme des images des composées à ktermes d’éléments deZ.
8. On suppose de plus queAest nilpotente. Soittun élément deAtel queT2,3= 0.
(a) Démontrer que T2,2 etT1,2sont nuls.
(b) T1,3 est-il nul aussi ?
3
