Lycée Louis-Le-Grand,Paris MPSI 4– Mathématiques A. Troesch
Problème n
o20 : Algèbre linéaire matricielle
Attention à ne pas confondre la notion de co-diagonalisabilité développée dans ce problème avec la notion de codiago- nalisabilité usuelle (diagonalisabilité en base commune). Remarquez la subtile nuance orthographique.
Problème 1– Co-diagonalisation (Mines 2001)
Dans tout ce problème, l’entiernest supérieur ou égal à1(n>1) ;Eest un espace vectoriel complexe de dimension n.
Le but de ce problème est d’étudier les applications semi-linéaires de l’espace vectorielEdans lui-même. Une application ude E dans lui-même est semi-linéaire si elle possède la propriété suivante :
Pour tout scalaire a et tout couple (x, y) de vecteurs de l’espace vectoriel E, la relation ci-dessous est vérifiée :
u(ax+y) =au(x) +u(y).
Le nombre complexeaest le nombre complexe conjugué dea.
Un nombre complexeµ est une valeur co-propre de l’application semi-linéaire us’il existe un vecteurxdifférent de 0 tel que la relation ci-dessous soit vérifiée :
u(x) =µx.
Le vecteurxest un vecteur co-propre associé à la valeur co-propreµ.
Partie I –
Le but de cette partie est d’étudier, pour une application semi-linéaireudonnée, les valeurs et vecteurs co-propres.
1. Premières propriétés.
Soituune application semi-linéaire de l’espace vectorielE.
(a) Démontrer qu’étant donné un vecteurx, différent de0, appartenant à l’espaceE, il existe au plus un nombre complexeµtel que la relationu(x) =µxait lieu.
(b) Démontrer que, si le nombre complexeµest une valeur co-propre de l’application semi-linéaireu, pour tout réel θ, le nombre complexe µeiθ est encore valeur co-propre de l’application semi-linéaire u. Exprimer un vecteur co-propre associé à la valeur co-propreµeiθ en fonction d’un vecteur co-proprexassocié à la valeur co-propreµ et du réelθ.
(c) Étant donnée une valeur co-propreµde l’application semi-linéaireudeE, soitEµ l’ensemble des vecteursx de l’espace vectorielEqui vérifient la relationu(x) =µx:
Eµ ={x∈E|u(x) =µx}. Est-ce que l’ensembleEµ est un espace vectoriel surC? sur R?
(d) Étant données deux applications semi-linéairesuetv, étudier la linéarité de l’application composéeu◦v.
2. Matrice associée à une application semi-linéaire
Soituune application semi-linéaire de l’espace vectorielE; soitB= (ei)16i6nune base de l’espace vectorielE.
À un vecteur x, de coordonnées x1, . . . , xn dans la base B est associée une matrice colonne X d’éléments x1, . . . , xn, appelée (abusivement) vecteur.
(a) Démontrer qu’à l’application semi-linéaireu est associée dans la baseB une matrice A, carrée, complexe, d’ordren, telle que la relationy=u(x)s’écrive :
Y =AX.
La matrice colonneX est la matrice conjuguée (coefficient par coefficient) de la matrice colonne X.
1
(b) SoientA et B les matrices associées à une même application semi-linéaireu dans les bases B et C de E respectivement. SoitS la matrice de passage de la baseB à la base C. Exprimer la matriceB en fonction des matricesAetS.
Étant donnée une matrice carréeA, complexe, d’ordren, le vecteurX, différent de 0, (X 6= 0) est un vecteur co-propre de la matrice carrée A, associé à la valeur co-propre µ, si le vecteur X et le nombre complexe µ vérifient la relation matricielle ci-dessous :
AX=µX.
On rappelle également queY 6= 0est vecteur propre associé à la valeur propreλdeAsi la relation suivante est vérifiée :
AY =λY.
Dans la suite, toutes les matrices considérées sont des matrices carrées complexes.
3. Exemples
(a) Soit A la matrice d’ordre 2 définie par la relation suivante : A = 0 −1 1 0
!
. Rechercher les valeurs co-
propresµet les vecteurs co-propresX = a b
!
associés.
(b) Démontrer que, si une matriceA est réelle et admet une valeur propre réelleλ, cette matrice a au moins une valeur co-propre.
4. Correspondance entre les valeurs co-propres de la matrice A et les valeurs propres de la ma- triceAA.
SoitA une matrice carrée complexe d’ordren.
(a) Démontrer que, si le scalaire µest une valeur co-propre de la matriceA, le nombre réel|µ|2 est une valeur propre de la matriceAA.
(b) Soitλune valeur propre positive ou nulle (λ>0) de la matriceAAet X un vecteur co-propre associé : AAX =λX.
Démontrer que le réel√
λest une valeur co-propre de la matriceA, en envisageant les deux cas suivants : (i) les vecteursAX et X sont liés ;
(ii) les vecteursAX et X sont indépendants.
(c) En déduire que, pour que le réel positif ou nulµsoit une valeur co-propre de la matriceA, il faut et il suffit qur le réelµ2 soit valeur propre de la matriceAA.
5. Cas d’une matrice triangulaire supérieure
Dans cette question, la matriceAest une matrice triangulaire supérieure (les éléments situés au-dessous de la diagonale principale sont nuls)
(a) Démontrer que si λest une valeur propre de la matrice A, pour tout réel θ, le nombre complexe λeiθ est une valeur co-propre de la matriceA.
(b) Démontrer que siµest une valeur co-propre de la matriceA, il existe un réelθtel que le nombre complexe µeiθ soit une valeur propre de la matriceA.
(c) SoitAla matrice définie par la relation ci-dessous :
A= i 1 0 i
! .
Démontrer que le réel1est valeur co-propre de cette matrice et déterminer un vecteurX co-propre associé.
PoserX= a+ ib c+ id
! .
2
6. Une caractérisation des valeurs co-propres
SoitAune matrice carrée complexe d’ordren; soientBetCles matrices réelles définies par la relation suivante : A=B+ iC.
Démontrer que le nombre complexeµest valeur co-propre de la matriceAsi et seulement si le nombre réel|µ| est une valeur propre de la matriceD, carrée réelle d’ordre2n, défini par blocs par la relation suivante :
D= B C
C −B
! .
Partie II –
Étant données deux matrices carrées complexes AetB d’ordre n, s’il existe une matrice carrée complexeS d’ordre n inversible (S ∈GLn(C)) telle que la relation
B=SAS−1
soit vérifiée, les deux matricesA etB sont dites co-semblables. La matriceS est la matrice conjuguée (coefficient par coefficient) deS.
Si une matrice A est co-semblable à une matrice diagonale, la matrice A est dite co-diagonalisable. Le but de cette partie est de rechercher à quelles conditions une matrice est co-diagonalisable.
1. Une relation d’équivalence
Étant données deux matrices carrées complexesAet B d’ordren, ces matrices sont dites satisfaire la relation
≈si et seulement si ces deux matrices sont co-semblables :
A≈B ⇐⇒ ∃S ∈GLn(C), B=SAS−1.
Démontrer que la relation ≈ est une relation d’équivalence dans l’ensemble des matrices carrées complexes d’ordren.
2. Indépendance des vecteurs co-propres
SoitAune matrice carrée complexe d’ordren, soientX1, . . . , Xk,kvecteurs co-propres de la matriceAassociés à des valeurs co-propresµ1, . . . , µk; l’entier kest inférieur ou égal à l’entiern(k6n).
Démontrer que, si les valeurs co-propres µp, p = 1,2, . . . , k, ont des modules différents les uns des autres (p6=q=⇒ |µp| 6=|µq|), la famille (X1, . . . , Xk)est libre.
En déduire que, si la matriceAAanvaleurs propresλp,p= 1,2, . . . , n, positives ou nulles, (λp>0), distinctes les unes des autres (p6=q=⇒λp6=λq), la matriceA est co-diagonalisable.
3. Quelques propriétés
(a) Soit S une matrice carrée complexe d’ordre n inversible (S ∈ GLn(C)) ; soit A la matrice définie par la relation
A=SS−1. Calculer la matrice produitAA.
(b) SoitAune matrice carrée complexes d’ordrentelle que AA=In.
Démontrer qu’il existe au moins un réelθ tel que la matriceS(θ)définie par la relation ci-dessous S(θ) = eiθA+ e−iθIn,
soit inversible. Calculer, en donnant au réel θ une telle valeur, la matrice AS(θ); en déduire la matrice S(θ)S(θ)−1.
3
4. Une condition nécessaire
SoitAune matrice d’ordrenco-diagonalisable. Il existe par suite une matriceS inversible telle que la matrice S−1AS soit diagonale. Démontrer que la matriceAA est diagonalisable, que ses valeurs propres sont positives ou nulles, et que le rang de la matriceAest égal au rang de la matriceAA.
5. Une condition suffisante
SoitA une matrice carrée complexe d’ordrenqui vérifie les trois propriétés suivantes : (i) la matriceAA est diagonalisable
(ii) les valeurs propres de la matriceAAsont positives ou nulles (iii) le rang de la matriceA est égal au rang de la matriceAA.
Soientλ1, . . . , λk les valeurs propres, deux à deux distinctes, de la matriceAA; elles sont positives et ordonnées de façon qu’elles vérifient la relation suivante :
λ1>λ2>· · ·>λk>0.
Les valeurs propresλ1, . . . , λkont respectivement les multiplicitésn1, . . . , nk(la multiplicité d’une valeur propre est la dimension du sous-espace propre associé). SoitIp la matrice identité d’ordrep. Une matrice diagonaleΛ, semblable à la matriceAA, s’écrit par blocs, avec les conventions précédentes sous la forme suivante :
Λ =
λ1In1 0 · · · 0 0 λ2In2 ... ...
... ... ... 0
0 · · · 0 λkInk
Par hypothèse, il existe une matriceS inversible telle que AA=SΛS−1. SoitB la matrice définie par la relation suivante :
B=S−1AS.
(a) Démontrer les relations :
BB =BB; BΛ = ΛB.
(b) Démontrer que la matriceBs’écrit par blocs sous la forme ci-dessous ; dans cette expression, chaque matrice Bp est une matrice d’ordrenp :
B=
B1 0 · · · 0 0 B2 . .. ...
... ... ... 0 0 · · · 0 Bk
(c) Démontrer qu’il existe une matrice inversibleP et une matrice diagonale∆ d’ordrentelles que la relation ci-dessous ait lieu :
B=P∆P−1.
En déduire que toute matrice vérifiant les hypothèses (i), (ii) et (iii) est co-diagonalisable.
6. Exemples
(a) Soit Aune matrice symétrique réelle d’ordren; est-elle co-diagonalisable ?
(On pourra admettre le résultat suivant : toute matrice symétrique réelle deMn(R)est diagonalisable dans Mn(R))
(b) SoientA, B,C etD les matrices d’ordre 2 suivantes : A= i 1
0 i
!
B= 1 −1 1 1
!
C= 0 1 0 0
!
D= 1 i i 1
! . Est-ce que ces matrices sont diagonalisables ? co-diagonalisables ?
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