Tales S DS Commun n° 1 CORRECTION
Année scolaire 2012-2013
Exercice 1: VRAI ou FAUX: (4 points)
1. Soient (un) et (vn) deux suites définies sur .
Si lim ( un vn ) = 0, alors les suites convergent vers la même limite.
FAUX un = n et vn n.
2. Si la suite (un) est telle que pour tout entier naturel non nul n : 1 1
n² ≤ un ≤ 1 1 n alors elle converge.
VRAI lim1 1
n= 1 et lim1 1
n²= 1 donc d’après le théorème d’encadrement ou théorème des gendarmes limun 1.
3. Si une suite est divergente vers + , alors elle est croissante.
FAUX un n ( 1)n Comme un≥n 1, limun et (un) n’est pas croissante ( u0 1, u1 0, u2 3) .
4. On considère la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier n, un 1 un 2n 3.
Pour tout entier n on a : un n+1)².
VRAI démonstration par récurrence :
Pour n = 0, (0+1)² = 1 et u0 1, la propriété est vraie
On suppose que pour un entier n appartenant à , un n+1)².
On a un 1 n+1)² 2n 3 = n² 4n 4 = (n 2)² .
Si la propriété est supposée vraie à un rang n, elle est vraie au rang n 1 On a bien démontré par récurrence que pour tout entier naturel n: un n+1)².
Exercice 2 : (6 points)
1. On sait que f ( x ) 2 x3 ax ² b x 1 . On a f′(x) 6x² 2ax b f′ ( 2 ) 0
et f(- 1 ) 6 donc a b 9
Finalement, a 5 et b f(x) 2x3 5x² 4x 1
2. Étude des variations de la fonction f sur IR : f est une fonction polynôme, elle est donc définie et dé-
rivable sur : f′(x) Δ =196 x1 1
3 et x2 2 .
x - 2 1/3 + f’(x) 0 + 0
f + 46
27 11 -
3. Les limites de f en + ∞ et en -∞ :
2 3
lim x
x et
5 2
lim x
x donc on a une forme indéterminée.
)
2 1
² 2 2 1 5 ( 2 lim 1 4
² 5 2
lim 3 3 3
x x x x
x x x
x
x car 1 0
lim
n
x x pour n naturel
non nul
2 5 ²
lim x3 x
x et
4 1
lim x
x , on a une forme indéterminée.
)
2 1
² 2 2 1 5 ( 2 lim 1 4
² 5 2
lim 3 3 3
x x x x
x x x
x
x car 1 0
lim
n
x x pour n naturel
non nul
4. Sur ] - ; 2], f est dérivable, donc continue, f est strictement décroissante,
( ) lim f x
x et
f( 2)< 0. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x) 0 admet une unique so- lution α1. Idem, une solution dans [-2 ; 1
3] et [ 1 3; + [
Encadrement à 10- 2 près de chacune des solutions à l’aide de la calculatrice : 3,1 α1 3,09
0,21 α1 0,2 α1
5. Tangente T à la courbe de f au point d’abscisse 0 : f(0) 1 et f′(0) 4 donc : y 4x 1 . 6.
Exercice 3 : (5 points)
La suite (un) est définie sur par u0 = 2 et un 1 2 3 un 2
1. A l’aide de la calculatrice, on peut conjecturer que la suite (un) est décroissante et converge vers 1.
2. Démonstration par récurrence que pour tout n appartenant à , 1 ≤ un ≤ 2 : u0 2 donc la propriété est vraie pour n 0.
On suppose que pour un entier naturel n, 1 ≤ un ≤ 2 . 3 ≤ un+2 ≤ 4, donc 1
4 ≤ 1 un 2 ≤ 1
3 , donc 1 ≤ un 1 ≤ 5
4 . On a bien 1 ≤ un 1 ≤ 2 . Si la propriété est supposée vraie à un rang n, elle est vraie au rang n 1 On a bien démontré par récurrence que pour tout entier naturel n: 1 ≤ un ≤ 2 3. Étude du sens de variation de la suite (un) : un 1 un =
(
1 un) (
1 un)
un 2 Comme 1 ≤ un ≤ 2 , 1 un
un 2 ≥0 et 1 un≤0.
Donc un 1 un≤ 0, donc la suite (un) est décroissante.
4. La suite (un) est décroissante et minorée par 1, donc elle converge.
5.
a) Test de cet algorithme pour s =0, 1 :
Valeurs de N 0 1 2
Valeurs de U 2 1,25 1,08
Valeurs de U-1 1 0,25 0,08
Affichage : N = 2
b) Cet algorithme permet de savoir à partir de quelle valeur de N les termes de la suite (un) sont proches de 1 avec un seuil fixé à s.
Exercice 4 : (5 points) 1. lim ( )3
f x
x lim ( )3
f x
x
( ) lim
2 f x
x et
( ) lim
2 f x
x
2. La courbe de la fonction f admet comme asymptote verticale la droite d’équation x 2 et comme asymptote horizontale y 3
3. Tableau de signe de f′ (x).
x - 2 +
f(x)
+
4.
16 ) 47 ( lim 1
2
2
f x
x x
donc x
x x
20 lim
2
2 f x et
x
x
( ) lim 2
2
2
( ) lim 3
2
2 f x
x x
5. f = f3.
6.
2
limx
x donc
)2
2 ( lim x
x donc 0
) 2 (
lim 1 2
x
x donc lim 3( )3
f x
x
idem en - .
