Universit´e P. et M. Curie Master de Math´ematiques
MM003
Vendredi 17 D´ecembre 2010
Analyse R´ eelle
Dur´ee 3 heures – sans document
I
On rappelle que si T est une distribution sur R v´erifiant x.T = 0, alors T est ´egale `a
0 (o`u 2Cet 0 est la mesure de Dirac en 0).
1) Pourn2N, on noteµn=Pn
k= n k, o`u kest la mesure de Dirac en l’entierk. Montrer que si '2S(R), on a :
Xn k= n
|'(k)|6sup
x (1 +x2)|'(x)| Xn k= n
1
1 +k2 6M sup
x (1 +x2)|'(x)| o`u M = 1 + 2P1
n=1n 2 < 1. En d´eduire que la suite (µn) converge dans S0(R) vers une distribution temp´er´eeµ et que hµ, 'i=P
k2Z'(k) pour toute '2S(R).
2) Montrer queµn⇤( 0 1) = n n+1, et en d´eduire que µn⇤( 0 1) tend vers 0 dans S0(R), puis que µ⇤( 0 1) = 0 (on pourra utiliser que 0 1 2E0(R)).
En d´eduire que si ˆµd´esigne la transform´ee de Fourier deµ, on a ˆµ2S0(R) et f.ˆµ= 0, si f 2OM(R) est la fonction : ⇠ 7!1 e i⇠.
3) On choisit une fonction de classe C1 sur R telle que (⇠) = 1 si ⇠ 6 ⇡
2 et (⇠) = 0 si ⇠ > 3⇡
2 . On pose, pour n2Z, n(⇠) = (⇠ 2n⇡) (⇠ 2(n 1)⇡). En particulier on a n(⇠) = 0(⇠ 2n⇡).
Montrer n est une fonction C1 dont le support est contenu dans l’intervalle ouvert Jn=]2(n 1)⇡,2(n+1)⇡[, et que la fonction n :⇠ 7! n(⇠)⇠ 2n⇡
f(⇠) appartient `aD(R), puis que n.(fµ) = 0 et en d´eduire queˆ Tn = n.ˆµ= n 2n⇡ pour un certain n 2C (remarquer que (⇠ 2n⇡).Tn= 0).
4) Montrer que, pour tout ' 2 D(R), il n’existe qu’un nombre fini de valeurs de n telles que n.' 6= 0, et qu’on a ' = P
n2Z n.'. En d´eduire que, dans D0(R), on a ˆ
µ=P
n2Z n.ˆµ=P
n n 2n⇡.
Montrer que les transform´ees de Fourier ˆ0 et ˆm de 0 et m sont dans S(R) et que ˆm(x) =Z
0(⇠ 2m⇡)e ix⇠d⇠ =Z
0(y)e ixye 2mi⇡xdy = e 2im⇡xˆ0(x) , puis que
hµ,ˆ 0i=hµ,ˆ0i=hµ,ˆmi=hµ,ˆ mi , donc que
0 =X
n2Z
n 0(2n⇡) = X
n2Z
n m(2n⇡) = m Conclure que m= 0 pour tout m, et que ˆµ= 0P
n2Z 2n⇡.
5) On note maintenant ⌫ la distribution `a support compact d´efinie comme la fonction caract´eristique de l’intervalle [ 1
2,1
2]. Montrer que µn⇤⌫ est la fonction caract´eristique de [ 2n+ 1
2 , 2n+ 1
2 ], et en d´eduire queµ⇤⌫ = 1, et que ˆ⌫ est une fonction deOM(R) v´erifiant ˆ
⌫.ˆµ= 2⇡ 0.
Montrer que ˆ⌫(0) = 1 et que ˆ⌫(⇠) = 2 sin(⇠/2)
⇠ pour ⇠ 6= 0. En d´eduire que 0 = 2⇡, puis que, pour toute'2S(R), on a
X
n2Z
ˆ
'(n) = 2⇡X
n2Z
'(2n⇡) .
II
Soient H un espace de Hilbert r´eel, :H⇥H !R une fonction bilin´eaire sym´etrique continue et L une forme lin´eaire continue sur H. On suppose qu’il existe c > 0 tel que
(x, x)>ckxk2 pour tout x2H. 1) Montrer que
((1 t)x+ty,(1 t)x+ty) (1 t) (x, x) t (y, y) = t(1 t) (x y, x y) , et en d´eduire que la fonction x7! (x, x) est convexe.
2) Montrer que pour toutx, on a (x) := (x, x) 2L(x)>c kxk kLk c
2 kLk2 c et en d´eduire que, pour toutr 2R, l’ensemble Kr ={x : (x) 6r} est convexe ferm´e et born´e, donc compact dansH pour la topologie faible.
On pose ⇢ = infx2H (x). Montrer que, pour toute famille finie (r1, r2, . . . rm) dans ]⇢,+1[, il exister > ⇢tel queT
j6mKrj =Kr 6=;, puis queT
r>⇢Kr 6=;, et en d´eduire qu’il existea2H tel que (a) =⇢ 6 (x) pour toutx 2H. Utilisant que (a+th) (a)>0 pourt2R et h 2H, montrer que, pour tout t,
2t (a, h) +t2 (h, h)>2tL(h) et en d´eduire que (a, h) =L(h) pour tout h.
Soient U un ouvert born´e de R2, et p une fonction r´eelle strictement positive de classe C1 au voisinage du compactU.
3) On consid`ere l’espace de Hilbert H1(U) = W1,2(U). On rappelle que la norme sur H1(U) est d´efinie par kfk2H1 = R
U f(z)2 + @f@x(z)2 + @f@y(z)2 dz. Pour f et g dans H1(U), on note
(f, g) =Z
U
⇣p(z)f(z)g(z) + @f
@x(z)@g
@x(z) + @f
@y(z)@g
@y(z)⌘ dz .
Montrer qu’il existe des constantes ↵ >0 et telles que ↵kfk2H1 6 (f, f)6 kfk2H1. 4) Soit maintenant u une fonction dans L2(U). Montrer que L : f 7!R
Uf(z).u(z)dz est une forme lin´eaire continue surH1(U).
Montrer qu’il existe g2H1(U) telle que l’on ait (f, g) =L(f) pour toute f 2H1(U).
Montrer que pour toute'2D(U), on a Z
U
(u(z) p(z)g(z))'(z)dz Z
U
@g
@x(z)@'
@x(z)dz Z
U
@g
@y(z)@'
@y(z)dz = 0 et que, au sens des distributions sur U, on a g=pg u.
En d´eduire que, au sens des distributions, la fonction g est solution de l’´equation pg g=u.
