Examen de Mathématiques Décembre 2019
L3 de sciences de la Terre, ENS de Lyon.
Documents autorisés : aucun. Durée 1 h 30
— o —
Opérateurs de dérivation (10 points)
1. [2 points] Donner 3 définitions du rotationnel.
2. [5 points] SoitM un point repéré par ses coordonnées sphériquesr, θ, λ. SoitM+−−→dM un point repéré par ses coordonnées sphériquesr+ dr, θ+ dθ, λ+ dλ. Soient~er, ~eθ, ~eλles vecteurs du repère sphérique.
a) Faire un schéma de ces quantités. Exprimer −−→
OM en fonction de ces quantités.
b) Sur le même schéma, dessiner le parallélépipède sphérique dont les coins ont pour coor- données r, θ, λ, r+ dr, θ+ dθ, λ+ dλ.
c) Sur le même schéma, indiquer les longueurs de 8 de ses cotés.
d) Détailler l’expression du flux d’un champ de vecteurs~v au travers de la surface du paral- lélépipède, en fonction de ces quantités. En déduire l’expression de la divergence en coordonnées sphériques.
3. [3 points] SoitM un point repéré par ses coordonnées cartésiennes :
−−→OM =x~ex+y~ey+z~ez.
Soientr, θ, λ ses coordonnées sphériques, et~er, ~eθ, ~eλ les vecteurs du repère sphérique.
a) Exprimerx, y, z en fonction der, θ, λ. En déduire−−→OM en fonction de r, θ, λet~ex, ~ey, ~ez. b) Calculer les trois vecteurs suivants en fonction de r, θ, λ et~ex, ~ey, ~ez :
E~r = ∂−−→OM
∂r , E~θ = ∂−−→OM
∂θ , E~λ = ∂−−→OM
∂λ .
c) En déduire l’expression des trois vecteurs unitaires en fonction de r, θ, λ et ~ex, ~ey, ~ez :
~er=E~r/||E~r||, ~eθ=E~θ/||E~θ||, ~eλ =E~λ/||E~λ||.
Séries de Fourier (10 points)
a >0 ⇧a(t) = (1
a t2[ a2,a2] 0
⇧˜a(⌫)
a!0⇧a b >0 ⇧b
⇤ab= ⇧a⇤⇧b
T(t, x)
@T
@t = @2T
@x2 t 0, x 2[0,1]
8>
<
>:
8x2[0,1], T(t= 0, x) =T0(x), 8t >0, T(t, x= 0) = 0, 8t >0, T(t, x= 1) = 1.
T0(x) x = 0
x= 1 T(t, x)
T1(x) @T1/@t= 0
✓(t, x) = T(t, x) T1(x)
✓
✓
✓(t, x) = X1 n=1
bn(t) (⇡nx)
bn(0)
bn(t) bn(0)
T(t, x) =x+
+1
X
n=1
bn(0)e ⇡2n2t (⇡nx).
