PanaMaths
[1 - 4]Décembre 2010
Résoudre dans ^ l’équation :
8
2 3 1
48 1 3 0
z
⎛⎜i
⎞⎟z
⎛⎜i
⎞⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− − − + =
Représenter, dans le plan complexe, les points ayant pour affixes les solutions de cette équation.
(D’après BAC E – Poitiers – 1974)
Analyse
La forme de l’équation suggère, dans un premier temps, d’effectuer un changement de variable pour se ramener à une équation du second degré …
Résolution
Posons Z =z4. L’équation initiale se récrit alors :
( ) ( )
2 2 3 1 8 1 3 0
Z − i − Z− +i =
On est ainsi ramené à la résolution d’une équation du second degré (en la variable complexe Z).
Le discriminant s’écrit :
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
3
2 6
2 3 1 4 8 1 3
4 3 1 8 1 3
4 3 2 3 1 8 8 3
4 6 6 3 24 1 3
1 3
48 48
2 2
4 3
i
i
i i
i i
i i
i i
i e
e
π
π
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
Δ =⎣ − ⎦ − × −⎣ + ⎦
⎡ ⎤
= ⎢⎣ − + + ⎥⎦
= − − + + +
= + = +
⎛ ⎞
= ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠=
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
PanaMaths
[2 - 4]Décembre 2010
On en tire immédiatement les deux solutions de l’équation :
( )
( )
( )
( )
( )
6 1
3
6 2
1 2 3 1 4 3
2
1 3 1
2 3 1 4 3
2 2 2
1 1
2 3 2 6 2 3 4 4 3
2 2
1 3
2 1 3 4
2 2
4
1 2 3 1 4 3
2
1 2 3 2 6 2 3
2
1 8 4
2 4
i
i
i
i
Z i e
i i
i i i
i i
e
Z i e
i i
e
π
π
π
π
⎡ ⎤
= ⎢ − + ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎛ ⎞⎤
= ⎢⎢⎣ − + ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠⎥⎥⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= ⎣ − + + ⎦= ⎣ + ⎦
⎛ ⎞
= + = ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠
=
⎡ ⎤
= ⎢ − − ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
= ⎣ − − − ⎦
= × − = −
=
On doit désormais résoudre les deux équations :
4 4 i3
z e
= π et z4 =4eiπ
Résolution de z4 4ei3
= π.
On pose classiquement : z=reiθ (avec r>0). On a alors : z4 =
( )
reiθ 4 =r e4 4iθ. D’où :[ ]
4
4 3 4 4 3
4 2
4 4
4 2
12 2 3
i i i
r r
z e r e e
π π
θ θ π π θ π π
⎧ = ⎧ =
⎪ ⎪
= ⇔ = ⇔⎨⎪⎩ = ⇔⎨⎪⎩ = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
On obtient les quatre solutions suivantes :
12 1
7
12 2 12
2
2 13
12 2 12
3
3 19
12 2 12
4
2
2 2
2 2
2 2
i
i i
i i
i i
z e
z e e
z e e
z e e
π
π π π
π π π
π π π
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
= =
= =
= =
PanaMaths
[3 - 4]Décembre 2010
Résolution de z4 =4eiπ.
On procède comme ci-dessus et on obtient :
[ ]
4
4 4 4
4 2
4 4
4 2
4 2
i i i
r r
z eπ r e θ eπ θ π π θ π π
⎧ = ⎧ =
⎪ ⎪
= ⇔ = ⇔⎨⎪⎩ = ⇔⎨⎪⎩ = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
On obtient les quatre autres solutions suivantes :
4 5
3
4 2 4
6
2 5
4 2 4
7
3 7
4 2 4
8
2 1
2 2 1
2 2 1
2 2 1
i
i i
i i
i i
z e i
z e e i
z e e i
z e e i
π
π π π
π π π
π π π
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= = +
= = = − +
= = = − −
= = = −
Notons M M1, 2, ...,M8 les points d’affixes respectives z z1, 2, ...,z8.
Comme z1 = z2 = =... z8 = 2, on peut affirmer que ces huit points sont situés sur le cercle de centre O et de rayon 2 dans le plan complexe.
On obtient :
-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2 0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
M1 M2
O
M3
M4
M5 M6
M7 M8
PanaMaths
[4 - 4]Décembre 2010
Résultat final
Les solutions de l’équation Z2−2
(
i 3 1−)
Z−8 1(
+i 3)
=0 sont les huit complexes :12 1
7
12 2 12
2
2 13
12 2 12
3
3 19
12 2 12
4
4 5
3
4 2 4
6
2 5
4 2 4
7
3 7
4 2 4
8
2
2 2
2 2
2 2
2 1
2 2 1
2 2 1
2 2 1
i
i i
i i
i i
i
i i
i i
i i
z e
z e e
z e e
z e e
z e i
z e e i
z e e i
z e e i
π
π π π
π π π
π π π
π
π π π
π π π
π π π
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
= =
= =
= =
= = +
= = = − +
= = = − −
= = = −
