Corrigé de l'examen de décembre 2010

Universit´e P. et M. Curie Master de Math´ematiques

MM003

Vendredi 17 D´ecembre 2010

Analyse R´ eelle

Corrig´e de l’examen I

1) Puisque (1+k²)|'(k)|6sup_x(1+x²)|'(x)|=:p('), on a pour toutk:|'(k)|6 p(') 1 +k²,

donc Xn

k= n

|'(k)|6p(').

Xn k= n

1

1 +k² 6M.p(')

Ceci d´emontre la convergence absolue de la s´erie ('(k)), donc l’existence pour toute ' 2 S(R) de la limite de la suite (hµn, 'i). Il en r´esulte que cette limite d´efinit une distribution temp´er´eeµ telle que hµ, 'i= lim_n!1hµ_n, 'i=P

k2Z'(k).

2) Pour touta2R, toute '2D(R) et toute 2D(R), on a h a⇤', i=h a, ⇤'˜i= ⇤'(a) =˜ Z

(x)'(x a)dx=h'_a, i

o`u 'a 2 D(R) d´esigne la fonction x 7!'(x a). Il en r´esulte que a⇤' ='a. Si b2 R et '2D(R), on a donc :

h a⇤ b, 'i=h b, e_a⇤'i=h b, _a⇤'i=h b, ' _ai=' _a(b) ='(a+b) ce qui montre que _a⇤ b = _a+b. Il en r´esulte que

µn⇤( 0 1) = Xn k= n

( k k+1) = n n+1

Puisque toute fonction deS(R) tend vers 0 `a l’infini, on a lim<sub>|n|!1</sub>h n, 'i = 0 pour toute '2S(R), c’est-`a-dire lim_{|n|!1 n}= 0 dansS⁰(R), et en particulier µ_n⇤( _{0 1})!0. La convolution par un ´el´ement de E⁰(R), ´etant continue de S⁰(R) dans lui-mˆeme, on obtient µ⇤( _{0 1}) = lim_n!1µ_n⇤( _{0 1}) = 0, puisque _{0 1} 2E⁰(R).

On a alors F(µ⇤( 0 1)) = ˆµ.F( 0 1). Et puisque 0 1 2E⁰(R), F( 0 1) est un ´el´ement f de OM(R) tel que f(⇠) =h 0 1, e_⇠i, o`u e_⇠ est la fonction C¹ : x7! e ^ix⇠. Doncf(⇠) =e⇠(0) e⇠(1) = 1 e ^i⇠.

3) Puisque est C¹, il est clair que _n estC¹. De plus, on a clairement ₀(x 2n⇡) =

n(x). Si ⇠ 6 3⇡

2 , on a ⇠+ 2⇡ 6 ⇡

2, donc (⇠) = (⇠ + 2⇡) = 1, donc ₀(⇠) = 0. Et de mˆeme, si ⇠ > 3⇡

2 , on a (⇠) = (⇠ + 2⇡) = 0, donc ₀(⇠) = 0. Et ceci montre que supp( 0)⇢[ 3⇡

2 ,3⇡

2 ]⇢] 2⇡,2⇡[, donc que supp( n)⇢]2n⇡ 2⇡,2n⇡+ 2⇡[, Puisque f(2n⇡) = 0, la fonction g : ⇠ 7! f(⇠)

⇠ 2n⇡, prolong´ee par f⁰(2n⇡) en 2n⇡, est aussiC¹, non nulle en 2n⇡ puisquef⁰(2n⇡) = 1. Il en r´esulte que 1

g est C¹ sur l’ensemble

{⇠, g(⇠)6= 0}= R\ {2m⇡ : m2Z, m6= n}. Et puisque _n est C¹ et nulle au voisinage de 2m⇡ si m6=n, on voit que _n =⇠_n.1

g est dans D(R).

Alors 0 = _n.fµˆ= (⇠ 2n⇡). _nµ, et on en d´eduit que la distributionˆ T_n= _n.µˆ v´erifie (⇠ 2n⇡).T_n = 0, donc que T_n est ´egale `a _{n 2n⇡}, pour un _n 2C.

4) Si ' 2D(R), il existe un entier N tel que supp(')⇢] 2n⇡,2n⇡[ pour n > N. On a alors

XN n= N

n(⇠) = (⇠ 2N ⇡) (⇠+ 2(N + 1)⇡) = 1 en tout point de supp('), donc P

n2Z n.'=PN

N n.'='. Donc hµ, 'ˆ i= X

n2Z

hµ,ˆ _n.'i= X

n2Z

h nµ, 'ˆ i=X

n2Z

h n 2n⇡, 'i c’est-`a-dire ˆµ=P

n2Z n 2n⇡ dans D⁰(R).

Puisque ₀ et _m sont dans D(R)⇢S(R), les fonctions ˆ₀ et ˆ_m sont dans S(R), et on a

ˆ_m(x) =Z

0(⇠ 2m⇡)e ^ix⇠dx=Z

0(y)e ^ix(y+2m⇡)dy

= e ^2im⇡xZ

0(y)e ^ixydy= e ^2im⇡xˆ₀(x) Par d´efinition de ˆµ, on a alors

hµ,ˆ _mi=hµ,ˆ_mi=X

n2Z

ˆ_m(n) =X

n2Z

e ^2imn⇡ˆ₀(n) = X

n2Z

ˆ₀(n) =hµ,ˆ₀i=hµ,ˆ ₀i

Or _m(2n⇡) est ´egal `a 1 si m=n et `a 0 sinon. Il en r´esulte que hµ,ˆ mi= X

n2Z

n m(2n⇡) = m

donc que m = 0 pour tout m, et que ˆµ= 0P

n2Z 2n⇡.

5) La distribution _k⇤⌫ est la fonction caract´eristique de l’intervalle [k 1

2, k+ 1

2]. Donc µn⇤⌫ =Pn

k= n1l_[k ¹_2,k+¹_2] = 1l_{[ n} ¹_2,n+¹_2]. Pour toute'2D(R), on a donc hµ_n⇤⌫, 'i=Z

'(x)dx=h1, 'i

pourn asez grand, c’est-`a-dire queµ_n⇤⌫ !1 dans D⁰(R). Et puisque⌫ 2E⁰(R), il r´esulte de la convergence dans D⁰(R) de (µ_n) vers µ que µ_n⇤⌫ !µ⇤⌫, donc que µ⇤⌫ = 1.

Alors, puisque ⌫ 2 E⁰(R), on a ˆµ 2 OM(R) et ˆµ.ˆ⌫ = F(1) = 2⇡ ₀. De plus, on a ˆ

⌫(0) =R

⌫(x)dx= 1 et, pour ⇠ 6= 0, ˆ

⌫(⇠) =Z

⌫(x)e ^ix⇠dx=Z 1/2 1/2

e ^ix⇠dx= 1 i⇠

⇥e ^ix⇠⇤1/2

1/2 = 2 sin⇠/2

⇠ Il en r´esulte que ₀P

n2Z⌫(2n⇡)ˆ _2n⇡ = 2⇡ ₀, donc que ₀ = 2⇡ et ˆµ= 2⇡P

n2Z 2n⇡. 2

Pour '2S(R), on a alorshµ, 'ˆ i=hµ,'ˆi, c’est-`a-dire X

n2Z

ˆ

'(n) = 2⇡X

n2Z

'(2n⇡)

II 1) Puisque est bilin´eaire et sym´etrique, on a

((1 t)x+ty,(1 t)x+ty) = (1 t)² (x, x) +t² (y, y) + 2t(1 t) (x, y) On en d´eduit que

((1 t)x+ty,(1 t)x+ty) (1 t) (x, x) t (y, y)

= t(1 t) (x, x) t(1 t) (y, y) 2t(1 t) (x, y)

= t(1 t) (x y, x y)6 (t(1 t)ckx yk² 60 ce qui exprime la convexit´e de la fonctionx7! (x, x).

2) Pourx2H, on a |L(x)|6kLk kxk, donc

(x) = (x, x) 2L(x)>ckxk² 2kLk kxk=c(kxk kLk

c )² kLk² c

Puisque la fonction x 7! (x, x) est convexe, il en est de mˆeme de la fonction ; et ceci montre que chaque ensembleK_r est convexe. La continuit´e de entraˆıne queK_r est ferm´e, et l’in´egalit´e pr´ec´edente montre que six2K_r, on a

kxk kLk c 6⇣r

c + kLk² c²

⌘1/2

donc que K_r est born´e. Et puisque les convexes ferm´es born´es d’un espace de Hilbert (ou mˆeme plus g´en´eralement d’un espace r´eflexif) sont compacts pour la topologie faible,Kr est faiblement compact.

Pour tout r > ⇢= infx2H (x), on aKr 6=;. Et si on a un nombre fini (r1, r2, . . . , rm) de nombres> ⇢, on a T

K_rj =K_r, o`u r = min(r_j)> ⇢, donc T

K_rj 6=;. On en d´eduit que la famille (Kr)r>⇢ a une intersection non vide, donc qu’il existe a2H tel que a2Kr pour toutr > ⇢. Il en r´esulte que ⇢6 (a)6⇢, et que atteint en ason minimum sur H.

On a alors, pour tout h2H et tout t2R : (A+th)>⇢= (a), donc (a+th) (a) =t² (h, h) + 2t (a, h) 2tL(h)>0 En particulier, pour t > 0, (a, h) > L(h) t

2 (h, h), et puisque t est arbitraire, (a, h) > L(h). Et pour t <0, (a, h) 6 L(h) t

2 (h, h), d’o`u (a, h) 6 L(h), puisque t est arbitraire. On en conclut que (a, h) =L(h) pour tout h2H.

3) Puisque p est continue sur le compact U, elle y atteint son minimum ↵^⇤, qui est strictement positif, ainsi que son maximum ^⇤. Alors, si ↵= min(1, ↵^⇤) et = max(1, ^⇤), on a 0< ↵ 616 , et ↵6p(z)6 , pour tout z 2U. Donc

(f, f)6Z

U

⇣ f(z)²+ @f

@x(z)²+ @f

@y(z)²⌘

dz6 kfk²H¹

3

ce qui montre que , qui est clairement bilin´eaire, est bien d´efinie et continue sur H¹(U).

Et de mˆeme

(f, f)>Z

U

⇣↵f(z)²+ @f

@x(z)²+ @f

@y(z)²⌘

dz>↵kfk²_H¹

4) Il r´esulte de l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz dansL²(U) que Z

f(z)u(z)dz

2

6Z

u²(z)dz.

Z

f²(z)dz6Z

u²(z)dz.kfk²_H¹

donc que |L(f)| 6 kuk₂.kfk_H¹ Et ceci montre que L est une forme lin´eaire continue sur H¹(U).

Puisque v´erfie les conditions pr´ec´edentes, il existe d’apr`es 2), une fonction g 2 H¹ telle que (f, g) =L(f) pour toute f 2H¹, et en particulier pour toutef 2D(U).

Alors, pour '2D(U), on a Z

u(z)'(z)dz=Z

p(z)g(z)'(z) +Z

@g

@x(z)@'

@x(z)dz+Z

@g

@y(z)@'

@y(z)dz La distribution @²g

@x² est d´efinie par Z

@g

@x(z)@'

@x(z)dz = h@²g

@x², 'i, et de mˆeme pour @²g

@y². On a donc, au sens des distributions,

hu pg+ @²g

@x² + @²g

@y², 'i= 0

c’est-`a-dire que g est (dans D⁰) solution de l’´equation : pg g =u.

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