Universit´e P. et M. Curie Licence de Math´ematiques
LM360
Jeudi 11 d´ecembre 2008
Topologie et Calcul Diff´ erentiel
Dur´ee 3 heures – sans document
I
Soit J = [−1,+1]. On note C0(J) l’espace de Banach des fonctions continues sur J `a valeurs dansRmuni de la norme :kfk0 = supt∈J|f(t)|(norme de la convergence uniforme).
On dira que f ∈C0(J) est de classeC1 sur J si f est C1 sur l’intervalle ]−1,+1[ et si sa d´eriv´ee f0 admet une limite en −1 et en 1. On notera encore f0 la fonction ainsi obtenue sur J.
On note C1(J) le sous-espace vectoriel de C0(J) form´e des fonctions de classeC1 sur J et l’on munit C1(J) de la norme kfk1 = kfk0 +kf0k0. On note C01(J) le sous-espace vectoriel deC1(J) form´e des fonctions f telles que f(0) = 0, muni de la norme induite.
1) Montrer que C1(J) et C01(J) sont des espaces de Banach. On rappelle le th´eor`eme suivant :Soit(fn)une suite de fonctions de classeC1 d´efinies sur un ouvert connexe U d’un espace de Banach E `a valeurs dans un espace de Banach F. On suppose que la suite des diff´erentielles (fn0) converge uniform´ement vers une fonction g et qu’il existe a∈ U tel que la suite (fn(a)) ait une limite dans F. Alors la suite (fn) converge uniform´ement sur toute boule de U vers une fonction f de classe C1 et f0 =g.
2) On noteD :C01(J)→C0(J) l’application lin´eairef 7→f0. Montrer que : a) kD(f)k0 ≤ kfk1 pour tout f ∈C01(J),
b) D est bijective,
c) |f(t)| ≤ |t| kD(f)k0 pour tout f ∈C01(J) et tout t∈J,
d) D est un isomorphisme d’espaces de Banach deC01(J) sur C0(J) (autrement dit, l’application lin´eaireD−1 inverse de D est continue).
3) On d´efinit la fonction Φ :C01(J)→C0(J) en posant pour f ∈C01(J), Φ(f) =Df−f2. Montrer que Φ est une application de classe C1, calculer sa diff´erentielle et montrer que Φ0(0) est un isomorphisme.
4) Pourr >0, d´esignons par B(0, r) la boule ouverte de centre 0 et de rayon r deC0(J).
Montrer qu’il existe r >0 et une fonction Ψ : B(0, r) →C01(J) de classeC1 tels que, pour toutg ∈B(0, r), Ψ(g) soit solution de l’´equation diff´erentielley0 =y2+g.
II
Soit f la fonction d´efinie sur l’espace R2 par f(x, y) =x4+ 2y4−2x2y2−x2−2y2. 1) Montrer que (u−v)2+v2 ≥ 1
4(u2+v2) (u, v ∈R).
2) En d´eduire que
a) f(x, y) tend vers +∞ quand |x|+|y| tend vers +∞, b) l’ensemble {(x, y) :f(x, y)≤0} est compact,
c) f atteint son minimum surR2.
3) a) D´eterminer les points critiques de f, c’est `a dire les points o`u la diff´erentielle de f s’annule.
b) Pour chacun des points critiques de f, d´eterminer la matrice hessienne de f. c) En quels points de R2 la fonction f a-t-elle un minimum (respectivement, un maximum) local ? Quel est le minimum de f?
III
Soient a, b, c, h des r´eels strictement positifs. On note d(., .) la distance euclidienne sur R3, on note P le plan d’´equation x+y+z −h = 0 et on note E l’ellipso¨ıde d’´equation
x2 a2 + y2
b2 + z2
c2 −1 = 0.
1) Montrer que la distanced(u, v, w) du point M = (u, v, w)∈R3 au plan P est ´egale `a
|h−(u+v+w)|
√3 .
2) Calculer la distance entreP etE, c’est-`a-dire le minimum de la distance entre un point de P et un point de E.
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