Universit´e P. et M. Curie Master de Math´ematiques
MM003
18 D´ecembre 2009
Analyse R´ eelle
Dur´ee 3 heures – sans document I
Montrer que si S1 et S2 sont respectivement des solutions fondamentales `a support dans R+ pour les op´erateurs diff´erentiels `a coefficients constants sur R : P1 = d
dx −λ1I et P2 = d
dx −λ2I, alors S1∗S2 est une solution fondamentale de P1.P2.
En d´eduire une solution fondamentale de l’op´erateur diff´erentiel `a coefficients constants sur R : P = d2
dx2 + d dx +I.
II
Dans toute cette partie, on d´enotera, pour ξ ∈ Rd, par ψξ la fonction C∞ d´efinie sur Rd par ψξ(x) = e−ihx,ξi.
Soit T une distribution `a support compact sur Rd. On veut montrer que la fonction θ : ξ 7→ hT, ψξi est C∞ et que la distribution temp´er´ee F(T) est la fonction θ, c’est-`a- dire que, pour touteϕ∈D(Rd), on a
hT,ϕˆi=hF(T), ϕi= Z
θ(ξ)ϕ(ξ)dξ .
1) Soitϕ∈D(Rd). Montrer que, pourx et ξ dans Rd, on a ϕ∗ψξ(x) =ψξ(x).
Z
ϕ(y)ψξ(−y)dy = ˆϕ(−ξ).ψξ(x)
2) Soit ρ une fonction de D(Rd) paire, positive, d’int´egrale 1 et `a support dans la boule unit´eB de Rd. Pour tout ε >0 on note ρε(x) =ε−dρ(x
ε).
Montrer que, pour kxk61 et kξk61, on a <e(e−ihx,ξi)>cos 1>0 et en d´eduire que
<e(ˆρ(ξ))>0 pour tout ξ∈B, puis que ρbε(ξ) =ρ(εξ)b 6= 0 si kξk6 1 ε. Montrer que T ∗ρε ∈D(Rd)⊂S(Rd) et que, pour ξ ∈Rd on a
Td∗ρε(ξ) =hT ∗ρε, ψξi=hT,ρeε∗ψξi=ρbε(ξ)hT, ψξi=θ(ξ).ρbε(ξ) et en d´eduire que θ estC∞ sur la boule B(0, R) (on pourra choisir ε < 1
R).
3) Montrer que, pourϕ∈D(Rd), on aθϕ∈D(Rd) et que hF(T), ϕi=hT,ϕˆi= lim
ε→0hT ∗ρε,ϕˆi= lim
ε→0
Z Td∗ρε(ξ)ϕ(ξ)dξ = lim
ε→0
Z
θ(ξ)ˆρ(εξ)ϕ(ξ)dξ
et enfin que hF(T), ϕi= Z
θ(ξ)ϕ(ξ)dξ. Conclure.
III
On se place maintenant dans R3et on note Σ la sph`ere unit´e deR3. Pour toute fonction ϕde classe C1 sur R3 et tout a= (x, y, z)6= 0 de R3 on appellera d´eriv´ee radiale de ϕ ena et on notera∂rϕ(a) la quantit´e ϕ0(a). a
kak, c’est-`a-dire
∂rϕ(a) = 1
(x2+y2+z2)1/2
≥x∂ϕ
∂x(a) +y∂ϕ
∂y(a) +z∂ϕ
∂z(a)¥ Montrer que, pourt > 0, on a d
dtϕ(ta) =kak∂rϕ(ta).
On d´efinit alors, pour ϕ∈C∞(R3),hT, ϕi comme l’int´egrale sur Σ de ∂rϕ, c’est-`a-dire hT, ϕi=
Z
Σ
∂rϕ(a)dσ(a) = ZZ
06β62π
−π/26α6π/2
∂rϕ(cosβcosα,sinβcosα,sinα) cosα dα dβ
1) Montrer queT est une distribution `a support compact. Calculer hT, νi lorsqueν est la fonction d´efinie par ν(a) = 1− kak2. Quel est l’ordre de T?
2) Montrer que f∗T = 0 si f est affine. Calculer ν∗T.
3) Soit U une rotation de R3. On rappelle que tU = U−1 et que, pour toute fonction continuef sur Σ, on a
Z
Σ
f(a)dσ(a) = Z
Σ
f◦U(a)dσ(a).
Soient ϕ ∈ C∞(R3) et χ =ϕ◦U. Montrer que l’on a ∂rχ(a) = ∂rϕ(U a) pour tout a∈ R3, et hT, ϕi=hT, ϕ◦Ui.
On suppose maintenant ϕ ∈ D(R3). Montrer que ˆχ(ξ) = ˆϕ(U ξ). En d´eduire que hF(T), χi=hF(T), ϕi, c’est-`a-dire U∗(F(T)) =F(T).
4) En utilisantII, montrer queF(T) est une fonctionθ de classeC∞ surR3, ´egale en tout point ξ de R3 `a hT, ψξi. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que θ◦U(ξ) = θ(ξ) pour toute rotation U de R3, c’est-`a-dire que θ(ξ) ne d´epend que de kξk, et que, pour kξk=R > 0, on a, avec ψ(x, y, z) = e−iRz,
θ(ξ) =θ(0,0, R) = ZZ
∂rψ(cosβcosα,sinβcosα,sinα) cosα dα dβ
= 2π Z π/2
−π/2
(−iRsinα)e−iRsinαcosα dα= 2π R
Z R
−R−ize−izdz et enfin qu’il existe une constanteM telle que|θ(ξ)|= 4πØØØcoskξk − sinkξk
kξk ØØ
Ø6M pour tout pointξ ∈R3.
5) Montrer que, pour toute ϕ∈D(R3), on a ϕ∗T ∈D(R3) et que, pour toutξ ∈ R3 on a ØØØ dϕ∗T(ξ)ØØØ=|θ(ξ).ϕ(ξ)ˆ |6M |ϕ(ξ)ˆ |. En d´eduire que
Z
|ϕ∗T(u)|2 du6M2 Z
|ϕ(u)|2 du
et que l’application ϕ 7→ ϕ∗T se prolonge en une application lin´eaire continue de L2(R3) dans lui-mˆeme.
