Examen de Janvier 2009

Universit´e P. et M. Curie Licence de Math´ematiques

LM360

12 Janvier 2009

Topologie et Calcul Diff´ erentiel

Dur´ee 3 heures – sans document

I

On consid`ere l’applicationf = (f₁, f₂) de R² dansR² d´efinie par : f1(x, y) =x, f2(x, y) =





0 si (x, y) = (0,0) yy²−x⁴

y²+x⁴ sinon

1) a) Montrer que 2x²|y|6x⁴+y², puis que |y−f2(x, y)|6x².

b) En d´eduire que f2 et f sont diff´erentiables en tout point (x, y) de R² et calculer la diff´erentielle def en (0,0).

2) a) Montrer que, pour tout voisinageU de (0,0) dansR², il existea,bdansU aveca6=b et f(a) =f(b).

b) La fonctionf est-elle de classe

C

¹?

II

On consid`ere la fonction de R² dans Rdonn´ee parf(x, y) =x²+y²−xy−2x+y.

1) Montrer que

a) f(x, y) tend vers +∞quand quand |x|+|y| tend vers +∞, b) l’ensemble{(x, y);f(x, y)≤0} est compact,

c) f atteint son minimum sur R². 2) Calculer ce minimum.

III

On noteh., .i le produit scalaire dans l’espace euclidienRⁿ. On d´efinit une fonctionψ surRⁿ en posant, pour x∈Rⁿ :

ψ(x) =

(0 si kxk>1

≥1− kxk²¥2

si kxk61

1) a) Montrer que l’applicationν:x7→ kxk² est de classe

C

¹surRⁿ et queν⁰(x).h= 2hx, hi b) Montrer queψ est de classe

C

¹ et calculer sa diff´erentielle en un point x.

c) On d´esigne par B(a, r) la boule ouverte de Rⁿ de centre a et de rayon r > 0 et on consid`ere la fonctionψa,r :x7→ψ(x−a

r ). Montrer queψa,r(x)>0 si et seulement six∈B(a, r).

2) Soient X une partie ferm´ee et born´ee de Rⁿ et (B(ai, ri))_i∈I une famille index´ee par un ensembleI de boules ouvertes qui recouvreX.

a) Montrer qu’il existe une partie finieJ deI telle queW =S

j∈JB(aj, rj) soit un voisinage deX.

b) Pour chaquej deJ on consid`ere la fonctionψj :x7→ψ(x−aj

r_j ). Montrer queψj est de classe

C

¹, nulle hors deB(ai, ri), et queP

j∈Jψj est strictement positive surW.

c) Pouri∈J etx∈W, on poseϕ_i(x) = ψi(x) P

j∈Jψj(x). Montrer que chaque ϕ_i est de classe

C

¹, nulle hors deB(aj, rj) et que P

j∈Jϕj est ´egale `a 1 surW.

3) Soientgune fonction continue deXdansRetε >0. On veut montrer qu’il existe une fonction f de classe

C

¹ sur Rⁿ qui approcheg `a εpr`es uniform´ement sur X.

On prend I = X et pour tout x ∈ X, on choisit ax = x et rx > 0 assez petit pour que

|g(y)−g(x)| ≤εpour touty∈B(x, rx). On d´efinitJ ⊂X et les fonctionsϕj comme ci-dessus, et on pose, pour y∈Rⁿ :

f(y) =X

j∈J

g(a_j)ϕ_j(y) .

Montrer que f est de classe

C

¹ sur W et que, pour y ∈ X, on a |g(y)−g(aj)| ≤ ε si ϕj(y) 6= 0.

En d´eduire que, siy∈X :

|f(y)−g(y)|= ØØ ØØ ØØ

X

j∈J

φj(y)°

g(aj)−g(y)¢ ØØ ØØ ØØ≤X

j∈J

φj(y)|(g(aj)−g(y)| ≤ε .

IV

On note

E

l’espace de Banach

C

⁰([0,1]) des fonctions continues sur [0,1] `a valeurs dans R muni de la norme de la convergence uniforme. On note

P

le sous-espace vectoriel de

E

form´e des applications polynˆomiales et, pourn∈N, on note

P

n le sous-espace des polynˆomes de degr´e≤n.

On munit les espaces

P

et

P

n des normes induites par celle de

E

.

1) a) Soit n fix´e. Montrer que

P

n est un espace de Banach et qu’il est ferm´e dans

E

. b) Montrer que la s´erieP_∞

j=0(x

2)^j converge uniform´ement sur [0,1] vers la fonction 2 2−x. c) D´eduire deb) que

P

n’est pas un espace de Banach.

2) Soitλla forme lin´eaire d´efinie sur

E

parP 7→P_∞

j=0P^(j)(0), o`uP<sup>(j)</sup>d´esigne la d´eriv´eej-i`eme du polynˆome P. Montrer que

a) la restriction deλ `a chaque espace

P

n est continue, b) λn’est pas continue sur

P

.