Universit´e P. et M. Curie Master de Math´ematiques
MM003
Vendredi 21 mai 2010
Analyse R´ eelle Deuxi` eme Session
Dur´ee 3 heures – sans document
I
Soit f une fonction localement int´egrable sur Rd.
1) On suppose d’abord que f appartient `a l’espace de Sobolev W1,2(Rd). Montrer que f d´efinit une distribution temp´er´ee, que sa transform´ee de Fourier ˆf est dans L2(Rd) et que chacune des fonctions : ⇠= (⇠1, ⇠2, . . . , ⇠d)7!⇠j.fˆ(⇠), pour 16j 6d, appartient `a L2(Rd).
En d´eduire que la fonction⇠ 7!(1 +k⇠k2)1/2f(⇠) est dansˆ L2(Rd).
2) Inversement, on suppose que la distribution associ´ee `af est temp´er´ee et que la fonction
⇠7!(1 +k⇠k2)1/2fˆ(⇠) est dansL2(Rd). Montrer que ˆf et chacune des fonctions ⇠7!⇠j.f(⇠)ˆ sont dansL2(Rd) et en d´eduire quef 2W1,2(Rd).
II
Dans tout ce qui suit, on noteraC ={z 2R2 :kzk= 1}le cercle unit´e du plan euclidien R2.
1) Soitg une fonction C1 de R2 dans C, nulle sur C. On veut montrer que la fonctionq d´efinie hors de C par q(z) = g(z)
kzk2 1 se prolonge en une fonction C1 sur R2. On notera g0(z) la di↵´erentielle deg enz : si h= (u, v)2R2, on a g0(z).h =u@g
@x(z) +v@g
@y(z).
Pour z 6= (0,0), on note la fonction hz :t 7!g( z
kzk +t(z z
kzk)). Montrer que
g(z) =Z 1 0
h0z(t)dt= (kzk 1)Z 1 0
g0( z
kzk +t(z z
kzk)). z kzkdt et en d´eduire que
q(z) = 1
kzk(1 +kzk) Z 1
0
g0( z
kzk +t(z z
kzk)).z dt puis conclure que q est C1 sur R2.
2) Soit f : C ! C une fonction complexe sur le cercle C. On dira que f est C1 sur C si la fonction 2⇡-p´eriodique t 7! f(cost,sint) est C1 sur R. On identifie ainsi C1(C) au sous-espace ferm´e de C1(R) (pour la convergence uniforme sur tout compact de toutes les d´eriv´ees) form´e des fonctions 2⇡-p´eriodiques, ce qui en fait un espace de Fr´echet.
On veut montrer qu’une fonctionf surC estC1 si et seulement s’il existe une fonction g de classe C1 sur R2 telle que g(z) =f(z) pour tout z de C.
a) Montrer que si g est C1 sur R2 et prolonge f, la fonction t 7! f(cost,sint) est C1 sur R.
b) Inversement, si f est une fonction sur C telle que ' : t 7! f(cost,sint) soit C1, on notera ˜f la fonction d´efinie sur R2 \ {(0,0)} par ˜f(z) =f( z
kzk). On veut montrer alors que ˜f est C1 au voisinage de tout point z0 6= (0,0) de R2. Il existe r0 > 0 et t0 2 R tel que z0 = r0.(cost0,sint0). Montrer que le d´eterminant jacobien en (r0, t0) de la fonction : (r, t) 7! z = (rcost, rsint) est non nul et d´eduire du th´eor`eme d’inversion locale l’existence sur un voisinage W0 de z0 de deux fonctions r´eelles ⇢ et
✓ de classe C1 telles que ⇢(z0) = r0 = kz0k et z = ⇢(z).(cos✓(z),sin✓(z)), puis que f(z) =˜ f(cos✓(z),sin✓(z)) =' ✓(z) est C1 sur W0.
c) Montrer que si est une fonction de D(R2) ´egale `a 0 au voisinage de 0 et `a 1 au voisinage deC, la fonction g= .f˜est dansD(R2) et prolonge f.
3) On consid`ere maintenant l’application lin´eaire P : g 7! g|C de D(R2) dans C1(C) qui `a une fonctiong associe sa restriction `a C. Montrer que le graphe de P est ferm´e dans D(R2)⇥C1(C), et en d´eduire la continuit´e de P.
On cherche maintenant `a d´eterminer les distributions T sur R2 qui satisfont l’´egalit´e (kzk2 1).T = 0.
On appellera distribution sur C toute forme lin´eaire continue sur C1(C) (toujours consid´er´e comme sous-espace ferm´e de l’espace de Fr´echet C1(R)).
4) Soit S une distribution sur C. Pour toute fonction g de classe C1 `a support compact sur R2, on posehT, gi=hS, g|Ci. Montrer que ceci d´efinit une distribution T sur R2 et que (kzk2 1).T = 0.
5) On suppose d´esormais que T est une distribution sur R2 v´erifiant (kzk2 1).T = 0.
Montrer que si W est un ouvert de R2 disjoint du cercle unit´e C = {z 2 R2 : kzk = 1}, et si '2D(W), la fonction '1 :z 7! '(z)
kzk2 1 appartient aussi `a D(W) et qu’on a hT, 'i=h(kzk2 1).T, '1i= 0
En d´eduire que supp(T)⇢C et que T 2E0(R2).
6) On suppose de plus quef 2C1(C) et que g1 etg2 sont deux fonctions dansD(R2) qui prolongent f. Au moyen de 1), montrer que la fonction q : z 7! g2(z) g1(z)
kzk2 1 se prolonge en une fonction C1 `a support compact sur R2, puis que
hT, g2i hT, g1i=h(kzk2 1).T, qi= 0
et en d´eduire qu’il existe une fonction S sur C1(C) telle que S(f) = hT, gi pour toute fonctiong2D(R2) prolongeant f. Montrer que S est lin´eaire surC1(C).
7) Soient Z un ouvert de C, et ⌦ = {f 2 C1(C) : S(f) 2 Z}. En utilisant la surjectivit´e de P, montrer que ⌦ = P(P 1(⌦)) = P({g 2 D(R2) : hT, gi 2 Z}), puis que{g2D(R2) :hT, gi 2Z}=T 1(Z) est ouvert dansD(R2).
Au moyen du th´eor`eme de l’application ouverte, en d´eduire que ⌦ =S 1(Z) est ouvert, et queS est continue. Conclure queS est une distribution surC et que T =S P =tP(S).
Caract´eriser les distributions T sur R2 telles que (kzk2 1).T = 0.
