Examen de mai 2013

Universit´e P. et M. Curie Master de Math´ematiques

MM003

Lundi 27 Mai 2013

Analyse R´ eelle

Dur´ee 3 heures – sans document

I

Soient H un espace de Hilbert et (xn) une suite deH qui converge faiblement vers 0.

1) Montrer qu’il existe M tel que kxnk 6 M pour tout n, puis qu’on peut construire par r´ecurrence une suite croissante (n_k) d’entiers telle que n0 = 0 et que, pour tout n > nk+1 et tout p6nk, on ait |hxp, xni|62 ^k.

2) Montrer que Xm

k=0

xnk

2

6X^m

k=0

kxnkk²+2 X

06p<k6m

hxnp, xnki 6(m+1)M²+2X

p<m

Xm k=p+1

2 ^k6(m+1)M²+4

3) En d´eduire que la suite (y_m)_m>1 d´efinie parym = 1 m+ 1

Xm k=0

xnk converge en norme vers 0 dans H.

On suppose maintenant queEest un espace de Banach r´eel et (x_n) une suite deEqui converge faiblement vers 0, et on veut montrer l’existence d’une suite (y_m) convergeant en norme vers 0 telle que chaque y_m soit combinaison convexe de{x₁, x₂, . . . , x_m}.

4) SoitC l’enveloppe convexe de{xn:n>1}, c’est-`a-dire l’ensemble des combinaisons convexes des vecteurs xn.

Montrer que si 0 n’appartenait pas `a C, il existerait'2E<sup>0</sup> telle que 0< = inf<sub>y2C</sub>'(y) et qu’on aurait|'(x<sub>n</sub>)|> pour tout n. En d´eduire que, pour tout k>0, il existezk 2C\B(0,2 <sup>k</sup>) et nk > nk 1 tel que zk appartienne `a conv({xj : j 6 nk}), puis que si on d´efinit ym = zk si n_k 6m < n_k+1ety_m=x₁ sim < n₀, la suite (y_m) tend vers 0 et quey_m2conv{x₁, x₂, . . . , x_m}.

II

Soit s>0. On d´esigne parH^s(R^d) l’ensemble des fonctionsf 2L²(R^d) telles que

Js(f) =Z

R^d(1 +k⇠k²)^s fˆ(⇠) ² d⇠ <+1

o`u ˆf 2L²(R^d) d´esigne la transform´ee de Fourier def. On poserakfk_H^s = (2⇡) ^d/2Js(f)^1/2. Noter que H⁰(R^d) =L²(R^d) et que kfk_H⁰=kfk₂.

1) Montrer que, si on pose T f(⇠) = (2⇡) ^d/2.(1 +k⇠k²)^s/2.fˆ(⇠), l’application f 7! T f est un isomorphisme isom´etrique de H^s(R^d) surL²(R^d). En d´eduire queH^s(R^d) est complet.

2) Soitf 2H^s(R^d). Montrer qu’il existe une suite ('_n) de fonctions deD(R^d) qui converge vers T f dans L²(R^d) et que gn =T ¹('n) appartient `a S(R^d). En d´eduire que (gn) converge versf dans H^s(R^d), puis que S(R^d) est dense dans H^s(R^d).

III On conserve dans cet exercice les notations de II.

Soit P le sous-espace {x= (x1, x2, . . . , xd)2R^d :xd = 0} deR^d. Pour toute fonction'2S(R^d) sa restriction '_|P `a P 'R<sup>d 1</sup> appartient `a S(P), et on notera l’application lin´eaire ' 7!'_|P deS(R^d) dansS(P), qu’on identifiera `aS(R^{d 1}).

On veut montrer que se prolonge en une application lin´eaire continue de H¹(R^d) dans H^1/2(R^{d 1}).

1) Soit '2S(R^d). Pour touty = (y₁, y₂, . . . , y_{d 1})2R^{d 1} et toutt2Ron identifiera (y, t) au point x= (y1, y2, . . . , yd 1, t) de R^d. Montrer que ˆ' est int´egrable surR^d et que

'(y, t) = (2⇡) ^d Z

R^{d 1}d⇠

Z

R'(⇠, ⌧ˆ )e^ihy,⇠i.e^it⌧d⌧

et en d´eduire que = (') v´erifie

(y) ='(y,0) = (2⇡) ^dZ

R^{d 1}e^ihy,⇠id⇠

Z

R'(⇠, ⌧ˆ )d⌧

2) Noter que la fonction⌧ 7!'(⇠, ⌧ˆ ) appartient `a S(R) pour tout ⇠ 2R^{d 1}, et en d´eduire que la fonctiong:⇠7!R

R'(⇠, ⌧ˆ )d⌧ est d´efinie en tout point⇠ 2R^{d 1}, et int´egrable surR^{d 1}. Montrer que = (2⇡) ^dF(g) et en d´eduire que ˆ = g

2⇡ (on rappelle que F d´esigne la transform´ee de Fourier conjugu´ee : F(f)(⇠) =Z

f(x) e^ihx,⇠idx).

3) En utilisant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, montrer que

|g(⇠)|²6⇣Z

R(1 +k⇠k²+⌧²).|'(⇠, ⌧ˆ )|² d⌧⌘ .⇣Z

R

d⌧

1 +k⇠k²+⌧²

⌘

= ⇡

(1 +k⇠k²)^1/2.⇣Z

R(1 +k⇠k²+⌧²).|'(⇠, ⌧ˆ )|² d⌧⌘ puis que

(2⇡)^{d 1}k k²_H^1/2=Z

R^{d 1}(1 +k⇠k²)^1/2 (⇠)ˆ ² d⇠6 ⇡ 4⇡²

Z

R^{d 1}⇥R(1 +k⇠k²+⌧²)|'(⇠, ⌧ˆ )|²d⇠ d⌧

et enfin quek k_H^1/2 6 1

p2.k'k_H¹.

4) Montrer que se prolonge en une application lin´eaire continue deH¹(R^d) dansH^1/2(R^{d 1}).

IV On conserve dans cet exercice les notations de II.

Pourf 2L²(R^d) et 0< s <1, on pose Ks(f) =Z

R^d⇥R^d

|f(y) f(x)|²

ky xk^d+2s dx dy 2[0,+1]

et on veut montrer qu’il existe une constanteC(s) telle queKs(f)6C(s).J_s(f).

1) En posant y=z+hetx=z h, montrer que Ks(f) = 2 ^2sZ

R^d⇥R^d

|f(z+h) f(z h)|² khk^d+2s dz dh 2

Pourhfix´e dansR^d, on pose _hf(z) =f(z+h) f(z h). Montrer que _hf 2L²(R^d) et que (2⇡)^dZ

R^d| hf(z)|² dz=Z

d_hf(⇠) ² d⇠=Z

R^d

fˆ(⇠) ² e^ihh,⇠i e ^{ihh,⇠i 2} d⇠

= 4.

Z

R^d

fˆ(⇠) ²sin²hh, ⇠id⇠

2) On d´esignera par ⌃ la sph`ere unit´e deR^d et par la mesure uniforme sur ⌃. On rappelle que siRest une rotation deR^det sif : ⌃!Cest -int´egrable, on aZ

⌃

f(!)d (!) =Z

⌃

f R(!)d (!), et que si 'est int´egrable surR^d, l’int´egration en coordonn´ees polaires de'donne

Z

R^d'(z)dz=Z ₁

0

⇢^{d 1}d⇢

Z

⌃

'(⇢.!)d (!)

En particulier, le volume de la boule unit´e de R^d est ´egal `a vd= 1

d (⌃). On rappelle aussi que si kuk=kvk= 1, il existe une rotationRdeR^d telle queR(u) =v.

Montrer que, pour⇠ fix´e dansR^d, on a Z

R^d

sin²hh, ⇠i

khk^d+2s dh=Z ₁

0

⇢ ^{1 2s}d⇢

Z

⌃

sin²(⇢h⇠, !i)d (!)

puis que la quantit´e c(r) = Z

⌃

sin²(rhu, !i)d (!) est ind´ependante de u 2 ⌃ et v´erifie les deux in´egalit´es : c(r)6 (⌃) et c(r)6Z

⌃

r².hu, !i²d (!)6r² (⌃).

3) D´eduire de ce qui pr´ec`ede que, en posant⇠ =k⇠k.u, on a Z

R^d

sin²hh, ⇠i

khk^d+2s dh=Z ₁

0

⇢ ^{1 2s}c(⇢k⇠k)d⇢=k⇠k^2s. Z ₁

0

r ^{1 2s}c(r)dr , que

Z ₁

0

r ^{1 2s}c(r)dr6 (⌃).Z ₁

0

r ^{1 2s}min(1, r²)dr= (⌃).⇣Z ¹

0

dr

r^{2s 1} +Z ₁

1

dr r^2s+1

⌘

= (⌃)

2s(1 s) <+1, et que, avec C(s) = (2⇡) ^d.2^{2 2s}Z ₁

0

r^{1 2s}c(r)dr, on a

K_s(f) =C(s).Z

R^d

fˆ(⇠) ².k⇠k^2s d⇠6C(s).J_s(f) .

4) Montrer que J_s(f) 6 1

C(s).K_s(f) + (2⇡)^d.kfk²₂, et en d´eduire que si f 2 L²(R^d) et si K_s(f)<+1, alorsf 2H^s(R^d).

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