Universit´e P. et M. Curie Licence de Math´ematiques
LM257
Lundi 5 mai 2014
S´ eries et Int´ egrales
2 heures – sans document
Les t´el´ephones portables doivent ˆetre rang´es ´eteints dans les sacs. Tout t´el´ephone allum´e sera saisi.
I
On rappelle que par convention 0! = 1, et on consid`ere la s´erie de terme g´en´eral un = 1
(n!)2 .
1) Montrer que cette s´erie est convergente.
2) On d´esigne par sn = Pn
p=0up la somme partielle de cette s´erie et par (vn) la suite d´efinie parvn =sn+ 1
n(n+ 2)(n!)2. Montrer que, pour n>2,
vn vn 1 = 2n+ 1
n(n 1)(n+ 1)(n+ 2)(n!)2
et en d´eduire que la suite (vn) est d´ecroissante. Montrer que les suites (sn) et (vn) sont adjacentes, et en d´eduire que la somme s=P1
n=0
1
(n!)2 de la s´erie v´erifiesn 6s6vn pour toutn.
3) D´eduire de ce qui pr´ec`ede que 9
4 6X1
n=0
1
(n!)2 6v2 = 73 32. II
On consid`ere l’´equation di↵´erentielle (E) : xy00+y0+y = 0 et on suppose que la s´erie enti`ere S(x) = X1
n=0
anxn poss`ede un rayon de convergence R >0, satisfait cette ´equation et vaut 1 en 0.
1) Montrer qu’on doit avoira0 = 1.
2) Montrer que si |x|< R, on ax.S00(x) =P1
n=0n(n+ 1)an+1xn et que xS00(x) +S0(x) +S(x) =X1
n=0
(n+ 1)2.an+1+an xn
En d´eduire qu’on doit avoiran+1 = an
(n+ 1)2 pour tout n>0.
3) D´eterminer le rayon de convergence de la s´erie enti`ere X1
n=0
( 1)n· xn (n!)2.
4) a) Soit (wn) une s´erie altern´ee telle que w0 > 0, que wn ! 0 et que |wn| > |wn+1| pour toutn. On notesm =Pm
n=0wn. Montrer que les suites (s2n) et (s2n+1) sont adjacentes . . ./. . .
et en d´eduire ques1 6sn 6s0 pour toutnet que la sommes= X1
n=0
wn de cette s´erie v´erifie s1 6s6s0.
b) Remarquer que 1
(n!)2 > 1
((n+ 1)!)2 pour tout n et en d´eduire que 06S(1)61.
5) a) On suppose `a nouveau que (wn) est une s´erie altern´ee telle que w0 > 0 et que wn !0 mais on suppose maintenant que |wn|>|wn+1|seulement pour toutn>1. On note encoresm=Pm
n=0wn. Montrer que les suites (s2n)n>1 et (s2n+1)n>0 sont adjacentes et en d´eduire que s1 6sn6s2 pour tout n>1 et que la somme s= X1
n=0
wn de cette s´erie v´erifie s1 6s6s2.
b) Remarquer ensuite que 1
(n!)2.2n > 1
((n+ 1)!)22n+1 pour toutn>1 et en d´eduire que 1 26S(2)61 2 + 1
4.22.
6) Conclure qu’il existe unx0 2[1,2] tel que S(x0) = 0.
III
Pour tout entier n > 1 on d´efinit la fonction un sur R par un(t) = ln(1 + t2
n2), et on consid`ere la s´erie de fonctions de terme g´en´eralun.
1) Montrer que cette s´erie de fonctions converge simplement surR. On note s sa somme.
2) Montrer que la s´erie de fonctions de terme g´en´eral un n’est pas normalement conver- gente sur R.
3) SoitA >0. Montrer que la s´erie de fonctions de terme g´en´eralunconverge normalement sur [ A, A].
4) En d´eduire que la fonctions est continue sur R.
5) Montrer que la fonction s est d´erivable sur R et ´ecrire sa d´eriv´ee s0 comme somme d’une s´erie de fonctions.
