Examen de Mai 2011

(1)

Universit´e P. et M. Curie Master de Math´ematiques

MM003

Jeudi 12 Mai 2011

Analyse R´ eelle

Dur´ee 3 heures – sans document

L’exercice III est complètement indépendant des deux précédents, et l’exercice II largement indépendant du précédent.

I

Soient S une distribution à support compact sur R, k un entier et T =S^(k) la dérivée d’ordrek de S. On note X_k la fonction C¹ :t7!t^k.

1) Montrer que si 06j < k, on a hT, X_ji= ( 1)^khS, X_j^(k)i= 0.

Inversement, on veut montrer par récurrence sur k > 1 que si T est une distribution à support compact sur R telle que hT, X_ji = 0 pour 0 6 j < k, il existe une distribution à support compact S telle que T =S^(k). On note Y la “fonction d’Heaviside” définie par

Y(x) =n1 si x >0 0 si x <0 et Ye = 1 Y.

2) On prend k = 1. Montrer que si supp(T) ⇢ [↵, ], la distribution T ⇤Y est définie et que son support est contenu dans [↵,+1[. Montrer de même que T ⇤Ye est définie et que son support est contenu dans ] 1, ].

Montrer que si hT,1i= 0, on aT ⇤(Y +Ye) = 0. En d´eduire qu’alors supp(T ⇤Y) = supp(T ⇤Ye)⇢[↵,+1[\] 1, ] = [↵, ] Montrer que, si on poseS =T ⇤Y, on a S⁰ =T ⇤Y⁰ =T. Conclure.

3) On suppose maintenant que l’énoncé est vrai pourket queT 2E⁰(R) vérifiehT, X_ji= 0 pour 06 j 6k. Montrer (en utilisant l’hypothèse d’induction) qu’il existe S₀ 2 E⁰(R) telle queT =S₀^(k), puis que

hS₀,1i= ( 1)^k 1

k!hT, X_ki= 0

et en d´eduire l’existence deS 2E⁰(R) telle que S0 =S⁰. Conclure.

II

Soit T une distribution à support compact sur R. On désignera ici par "_z, pour z 2C, la fonction de classe C¹ : x7!e ^xz et par LT la fonction définie sur C par z 7! hT, "zi. 1) On suppose que supp(T)⇢]↵, [. Montrer qu’il existe un entiernet un nombreM tels que, pour toute fonction'2C¹(R), on ait :

|hT, 'i|6M.sup_x₂_[↵, _],k₆_n '^(k)(x)

(2)

et en d´eduire qu’on a alors

|LT(z)|6M(1 +|z|ⁿ)( e ^↵z + e ^z ) (⇤) Montrer que, de plus, si T est une fonction `a support compact, on peut prendren= 0.

Montrer aussi que, si T₁ est la d´eriv´ee de T, on a LT1(z) =zLT(z).

On suppose maintenant que la distribution `a support compact T v´erifie la condition (⇤) ci-dessus, et on veut montrer que le support deT est contenu dans l’intervalle [↵, ].

2) Soient q 2 N et une fonction positive, de classe C¹, non identiquement nulle et

à support dans ]↵, [. On considère la fonction qui à tout polynôme P de degré < q associe l’élément u2C^q de coordonnées uj =h , Xj 1.Pi (pour 16j 6q) où Xj, comme plus haut, est la fonction t 7! t^j. Montrer que est linéaire et que si P = Pq

j=1a_jX_j ₁ appartient au noyau de , on a

Z

(t)|P(t)|² dt= Xq j=1

¯

a_jh , P.X_j ₁i= 0

et conclure que est injectif, puis qu’il existe un polynˆome P de degr´e < q tel que h .P, X_j ₁i = hT, X_j ₁i pour tout j dans [1, q]. Conclure qu’il existe alors S 2 E⁰(R) telle que T .P =S^(q), et que z^qLS(z) =LT(z) L P(z) (utiliser I).

Montrer que si T v´erifie la condition (⇤) et si on prend q = n+ 2, la distribution S v´erifie

|LS(z)|6 C

1 +|z|²( e ^↵z + e ^z ) (⇤⇤)

pour une constante convenableC.

3) On suppose que S 2 E⁰(R) v´erifie (⇤⇤) et, pour ⇠ 2R on note S_⇠ la distribution "_⇠.S.

Montrer que la transformée de Fourier cS_⇠ de S_⇠ vérifie, avec la même constante C que ci-dessus,

Sc_⇠(⌘) =|LS(⇠+i⌘)|6 C

1 +⌘²(e ^↵⇠ + e ^⇠)

et en particulier que Sc⇠ 2 L¹(R). En déduire que, dans S⁰(R), S⇠ est égale à la fonction continue x 7! 1

2⇡

Z Sc_⇠(⌘)eîx⌘d⌘, puis que S est, dans S⁰(R), égale à la fonction continue

g:x7! e^x⇠

2⇡

Z cS⇠(⌘)e^ix⌘d⌘.

Montrer que la fonction g v´erifie pour tout x et tout ⇠ :

|g(x)|6 C

2(e^{(x ↵)⇠}+ e^(x ^)⇠) .

4) En d´eduire queg(x) = 0 si x < ↵( faire tendre⇠ vers +1) et si x > ( faire tendre⇠ vers 1), puis que supp(S)⇢ [↵, ].

Conclure que supp(T)⇢ [↵, ] si T v´erifie (⇤).

III

On rappelle qu’une fonctionh de classeC¹ sur un ouvert ⌦ deR² est dite harmonique si h= 0, où h désigne le Laplacien de h, c’est-à-dire la fonction @²h

@x² + @²h

@y². 2

(3)

1) Soient h une fonction harmonique et S une distribution `a support compact sur R². Montrer que h S, hi=hS, hi= 0.

Inversement, soit T une distribution `a support compact telle quehT, hi= 0 pour toute fonction harmonique h sur R². On veut montrer qu’il existe S 2 E⁰(R²) telle que T = S.

On noteK le support de T et R= sup_x₂_Kkxk.

2) On rappelle que la fonction localement int´egrable E : x 7! 1

2⇡ logkxk sur R² est une solution ´el´ementaire du Laplacien. On pose S =E⇤T. Montrer que S =T.

3) Pour ' 2 D(R²), on note ˜' la fonction x 7! '( x). Montrer que si h : R² ! C est harmonique et si ' 2 D(R²), on a ( ˜'⇤h) = ˜'⇤ h = 0, et en déduire que ˜'⇤h est harmonique. Montrer que hT ⇤', hi =hT,'˜⇤hi = 0, et en déduire que = T ⇤' est une fonctionC¹à support compact vérifiantR

(x)h(x)dx= 0 pour toute fonction harmonique h sur R².

4) Soient " > 0 et '2 D(R²) positive et d’intégrale 1 à support dans le disque unité. Si W_"=D(0, "),'_":x 7!" ²'(x

") et kak> R+", montrer queM_" = supp(T⇤'_")⇢K+W_"

puis que, pour _" =T ⇤'_",

S⇤'"(a) =E⇤T ⇤'"(a) =Z

E(a x) "(x)dx .

5) Soit a = (↵, ) 2 R². On suppose kak > R+". On va montrer qu’il existe une suite (h_n) de fonctions harmoniques surR² qui converge vers _a :x 7!E(a x) uniformément sur le disqueD(0, R+"). On rappelle que la série entièreP₁

p=1

1

pz^p converge normalement sur tout compact du disque unit´e deCvers une d´etermination du logarithme de log(1 z), c’est-

`a-dire vers un nombre complexer+i✓ tel que 1 z = e^r+i✓ (en particulierr = log|1 z|).

Montrer que, si z =u+iv v´erifie |z|6R+", on a

a(u, v) = 1 2⇡

⇣logkak <e(X¹

p=1

1 p

✓ z

↵+i

◆p

)⌘

que la fonction mp : (u, v) 7! ⇣u+iv

↵+i

⌘p

v´erifie mp = 4 @

@z( @

@z¯mp) = 0, puis que (<e(m_p) = <e( m_p) = 0. En d´eduire que si on pose h_n = logkak

2⇡

Xn p=1

1

2p⇡ <e(m_p), les h_n sont harmoniques surR² et convergent uniform´ement sur M_" vers a, et que

S⇤'"(a) =h a, T ⇤'"i=h a, "i= lim

n!1

Z

"(x)hn(x)dx= 0 .

6) Déduire de ce qui précède que S⇤'" est nulle hors du disque de centre 0 et de rayon R+", puis que S = lim_"_!₀S⇤'_" a son support dans le disque compact centré en 0 et de rayon R. Conclure.

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