Examen ` a Blanc : 1 avril 2011
Probabilit´e et Statistiques SIC
1. (i) D’un jeu de 52 cartes, je choisis une carte au hasard. Quelle est la probabilit´e que j’obtienne un coeur ou un roi ?
(ii) Deux d´es ´equilibr´es ind´ependants. Etant donn´e que la somme est six, quelle est la probabilit´e conditionnelle que le premier d´e vaut 5 ?
(iii) SiX ∼N(1,4) etY ∼N(0,1) sont ind´ependants, quelle est la variance de 1 + 2X− 3Y ?
(iv) SiX ∼U[0,1], calculer var(X).
(v) SiX, Y ∼N(0,1) et ind´ependants, calculer cov(2 + 3X+Y, Y −X−2).
(vi) (X, Y) suit une loi uniforme dans le disque de centre O et de rayon r. Donner la fonction de masse conjointe de X etY.
(vii) Donner le 0.95 quantile de la loi N(0,1).
(viii) Trouver une approximation pour P(X1+· · ·+X100 ≤110), o`uX1, . . . , X100
iid∼ exp(1).
(ix) SoientXetY deux variables ind´ependantes de Poisson de param`etres 2 et 3. Donner la fonction g´en´eratrice des moments pourX−3Y.
(x) Pour un ´echantillon al´eatoireX1, . . . , X21d’une loiN(θ,1), on testeH0 :θ= 0 contre θ6= 0. Quelle est la p-valeur si on obtient x= 0.2, s2 = 1.5 ? Qu’est-ce’qui change si σ est inconnue ?
2. J’ai trois pi`eces ; une pi`ece non biais´ee, une qui donne toujours pile et une autre qui donne pile avec une probabilit´e 23. Je choisis une pi`ece au hasard et je la jette deux fois.
(a) Calculer la probabilit´e que les deux jets donnent piles.
(b) Etant donn´e le fait qu’on a re¸cu deux piles, calculez la probabilit´e conditionnelle que la pi`ece non biais´ee a ´et´e choisie.
(c) Etant donn´e deux piles, quelle est la probabilit´e d’obtenir face si on jette la mˆeme pi`ece encore une fois ?
3. Xavier et Yann se donnent rendez-vous, mais ils arrivent avec des retards X etY dont la densit´e conjointe satisfait
f(x, y)∝
e−xe−y, 0< x < y <∞,
0, sinon.
(a) Quelle est la loi marginale du retard de Xavier ? Donner la m´ediane de cette distri- bution et son esp´erance.
(b) Quel est le temps moyen pendant lequel Xavier attend Yann ? 4. SoientX1, . . . , Xn un ´echantillon al´eatoire de la loi de Poisson(λ).
(a) Quel est l’estimateur du maximum de vraisemblanceλbn pourλ? Est-il biais´e ? (b) Donner la distribution asymptotique de√
n(λb−λ)/λ1/2 et en d´eduire un intervalle de confiance au niveau 99% pour λ.
(c) SiY1, . . . , Yrsont des variables al´eatoires de Poisson(2λ) ind´ependantes deX1, . . . , Xn,
quel est l’estimateur du maximum de vraisemblance pourλse basant surY1, . . . , Yr, X1, . . . , Xn?
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5. Une brasserie souhaite avoir en moyenne 2.5 decilitres de bi`ere dans chaque bouteille qu’elle produise. Si la moyenne globale est trop petite ou trop grande il y aura des probl`emes.
Pour voir si la production fonctionne bien, la quantit´e dans les 100 bouteilles est mesur´ee, donnant les r´esultatsx1, . . . , x100 qui peuvent ˆetre pris pour ind´ependants.
(a) Formulez la situation comme un test d’hypoth`ese. Enon¸cer clairement les hypoth`eses nulle et alternative.
(b) Un QQ-plot desx1, . . . , x100est donn´e au-dessous. La courbe est-elle compatible avec une distribution gaussienne ? Justifiez.
(c) Six= 2.3 et 991 P(xi−x)2 = 0.4, faites un test d’hypoth`ese au niveau 5%.
(d) Expliquez vos conclusions `a quelqu’un qui a trop bu pour comprendre le langage des statistiques.
−2 −1 0 1 2
1.52.02.53.0
Normal Q−Q Plot
Theoretical Quantiles
Sample Quantiles
2
