DEUG MIAS S4 2003/2004 Enseignement complémentaire Analyse complexe
Examen Mai 2004
Barème approximatif : 6+6+8
Exercice 1 : SoitQle carré parcouru dans le sens direct−1−i; 2−i; 2 + 2i;−1 + 2i.
1. ReprésenterQ.
2. CalculerR
Q
z
(z−1)(z−i−1)(z+2)dz.
3. CalculerR
Q ez
z3 dz, on pourra utiliser le fait queez =P∞ n=0 zn
n!. 4. CalculerR
Q(z+ 7)3ezdz.
Exercice 2 : Le but de cet exercice est de calculerI = R2π 0
1
3−2 costdt. On noteΓle cercle trigonométrique parcouru une fois dans le sens direct etf(z) = 1
iz(3−(z+ 1z)). 1. Montrer queR
Γf(z)dz=I.
2. Simplifierf puis déterminer ses pôles, représenter les schématiquement dans le plan complexe.
3. CalculerI.
Exercice 3 : On pose∀z∈C, f(z) = 1+zz48.
1. SoitCRle huitième de cercle de centreO de rayonR > 1allant du pointRau pointReiπ4 dans le sens trigonométrique, montrer en paramètrant le huitième de cercle que
R→+∞lim Z
CR
f(z)dz= 0 2. Déterminer les pôles def, représenter les dans le plan complexe.
3. Montrer que le résidu def eneiπ8 est égal à 1 8e−3iπ8 . 4. Soit γ : [0;R] → C
t 7→ teiπ4 représenter le chemin paramètré parγ en indiquant le sens de parcours.
5. Soit ∆R le chemin qui commence par CR, qui est suivi du segment [Reiπ4 ; 0]puis du segment [0;R], représenter∆Rpuis calculer pourR >1l’intégrale :R
∆Rf(z)dz 6. En déduire que
Z ∞
0
x4
1 +x8 dx= π 8 sin(38π) 7. En s’inspirant de cette méthode déterminerR∞
0 xn 1+x2ndx
