IUP GCI année 2 2003/2004
Probabilités et statistiques
Examen Mai 2004
Une calculatrice et une feuille manuscrite au choix de l'étudiant sont autorisées.
Exercice 1 : Soit X une variable aléatoire de loi normale de paramètres (m;σ2), on dit que la variable aléatoire Z =eX suit une loi log-normale de paramètres (m;σ2).
1. Si m = 1 etσ2 = 4 calculer P(2< X <3) puis P(1< Z <2).
2. Soient U1;U2;. . .;Un des variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme sur[1;e],Yk = lnUk etΠn= √n
U1U2. . . Un= (Qn
k=1Uk)n1.
(a) Montrer que E(Yk) = e−11 et var(Yk)'0,079.
(b) Dans quel intervalle de R, la variable aléatoire Πn prend-elle ses valeurs ?
(c) En considérant ln Πn et en utilisant le théorème de la limite centrée donner une valeur approchée deP(Π100< 12(e+ 1)).
(d) Donner une loi proche de celle de Π100.
Exercice 2 : Une entreprise fabrique des supports d'auvent en béton. Une étude statistique a montré que la charge de rupture à la traction de ces supports d'auvent suit une loi normale de moyenne 47,2 kg.cm−2 et d'écart type 1,8 kg.cm−2.
1. Quel est la proportion de supports dont la charge de rupture est inférieur à 45 kg.cm−2?
2. L'entreprise veut répondre à un appel d'ore pour la commande de 100 supports, mais les spécications précisent que les charges de rupture des supports doivent être supérieur à 42 kg.cm−2.
(a) Quelle est la probabilité que sur 100 supports il y en ait au moins un qui ait une charge de rupture inférieur à 42 kg.cm−2? On pourra pour répondre à cette question considérer 100 variables aléatoires indépendantesX1;X2;. . .;X100correspondant aux charges de ruptures des 100 supports.
(b) Quelle est la probabilité que la moyenne des charges de rupture à la traction des 100 supports fournis par l'entreprise soit inférieur à 42 kg.cm−2?
3. Un ingénieur de l'entreprise propose de modier le procédé de fabrication, 7 supports sont fabriqués avec le nouveau procédé et leur charge de rupture mesuré :
46,3 47,1 48,5 48,6 48,9 49,3 49,8
Peut-on conclure que le nouveau procédé permet d'obtenir une charge de rupture à la traction moyenne supérieure qu'avec l'ancien procédé ? On pourra construire un test statistique et l'on précisera les hypothèses faites. Quelle décision doit-on prendre ?
Exercice 3 : Pour contrôler la fabrication d'une pièce industrielle, on étudie la distribution de 100 séries de contrôle de cette pièce. Chaque jour on prélève une série de 200 pièces prises au hasard dans la production (prélèvement non exhaustif). On désigne parnk le nombre de séries de contrôle, ayantk pièces défectueuses, les observations sont résumées dans le tableau suivant :
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 >9
nk 4 8 14 19 14 16 13 9 2 0 1
1. On suppose que la production est homogène, c'est à dire que la proportion de pièces défectueuses ne varie pas dans le temps. Estimer la proportion de pièces défectueuses p.
2. Si la proportion de pièces défectueuses est égale à p, et que leur distribution est homogène, quelle est la loi de la variable aléatoire N qui modélise le nombre de pièces défectueuses dans une série de 200 pièces ?
3. Tester si la production est homogène . On fera un test de χ2 au risque de 5%.
