Examen d’analyse numérique Mai 2010

Examen d’analyse numérique Mai 2010

Exercice 1 :

Soitf une fonction de classeC²sur[−2,1]. Montrer qu’il existe un et un seul polynômeP_f de degré inférieur ou égal à trois ou nul tel que

f(0) =P_f(0), f⁰(0) =P_f⁰(0), f⁰(−1) =P_f⁰(−1), f^”(0) =P_f^”(0) Calculer les polynomesP_o,P₁,P₂,Qde degré inférieur ou égal à trois tels que

1 =P0(0), P₀⁰(0) =P₀⁰⁰(0) =P₀⁰(−1) = 0 1 =P₁⁰(0), P₁⁰(−1) =P₁⁰⁰(0) =P1(0) = 0 1 =P₂⁰⁰(0), P₂⁰(−1) =P₂⁰(0) =P2(0) = 0 1 =Q⁰(−1), Q(0) =Q⁰(0) =Q^”(0) = 0 CalculerPfen fonction def(0),f⁰(0), f^”(0), f⁰(−1)etP0, P1,P2, etQ.

Montrer les relations valables pour toutx:

0 =−xP0(x) +P₁(x) +Q(x)

0 =x²P₀(x)−2xP₁(x) + 2P₂(x)−2(1 +x)Q(x) 0 =−x³P₀(x) + 3x²P₁(x)−6xP₂(x) + 3(1 +x)²Q(x).

On suppose quefest de classeC³et telle quef⁽⁴⁾existe et est intégrable sur[−1,2]. Montrer que

Pf(x) =f(x) + Z x

0

t³P0(x)

3! −t²P1(x)

2 +tP2(x)

f⁽⁴⁾(t)dt− Z x

−1

(1 +t)²f⁽⁴⁾(t) 2 Q(x)dt Exercice 2 :

Calculer la meileure approximation uniforme d’ordre1de la fonction polynomiale

f(x) =x⁵ 5 +2x³

3 sur l’intervalle[0,1].

Exercice 3 :

On considère l’équation différentielle

y⁰(x) =_log(2+y^y2+x²)

y(0) = 1

Montrer que la fonction(x, y)7→f(x, y) = _log(2+y^y2+x²)est de classeC¹surIR²et que sa dérivée par rapport àyest bornée surIR², donnez en un majorant.

En déduire l’existence et l’unicité d’une solution maximale.

On considère le schéma sur[0, a],h=_N^a,t_n =nh, (

y^N_n+1−y_n^N =h_log(2+(y^yN^Nn+h n)²+t²_n+h²)

y^N₀ =h+ 1

Définir une fonctionφde trois variables donnant le schéma sous la formey_n+1^N =y_n^N +hφ(tn, y^N_n, h). Montrer que ce schéma est stable et consistant. Est-t-il d’ordre 2 ? Donner une estimation de l’erreur en fonction deh.

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