Compacité

Universit´e Paris Saclay Master 1 Ann´ee 2020-2021 Analyse, Math´ematiques G´en´erales II

TD1: Compacit´e

Exercice 1. (Th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass) 1. Soit (xn)n∈N une suite born´ee deR.

(a) Pour tout k ∈ N, on pose yk := sup_n≥kxn. Montrer que la suite (yk)k∈ N converge vers une limite not´ee`∈R.

(b) Construire une applicationσ :N^∗→Nstrictement croissante telle que

|x_σ(n)−`| ≤ 1

n pour toutn≥1.

(c) Conclure

2. Soit (x_n)n∈N une suite born´ee de R^d. Montrer que (x_n)n∈Nadmet une sous-suite conver- gente.

3. En d´eduire que les parties compactes deR^d sont les ferm´es born´es.

Exercice 2. (Equivalence des normes en dimension finie) Soit E un espace vectoriel de dimension finie det B ={e₁, . . . , ed} une base de E. Pour tout x ∈E, on note x1, . . . , xd ∈R les composantes dex dans la base B de sorte que

x=

d

X

i=1

x_ie_i.

1. On d´efinit la quantit´e

kxk_∗:= max

1≤i≤d|x_i| pour toutx∈E.

Montrer qu’il s’agit d’une norme.

2. Soit N une norme surE. Montrer que l’application N : (E,k · k_∗) → R

x 7→ N(x) est Lipschitzienne.

3. Montrer que l’ensemble S :={x∈E: kxk_∗ = 1} est compact.

4. Montrer qu’il existe m >0 et M >0 tels que

mkyk_∗ ≤N(y)≤Mkyk_∗ pour tout y∈E.

5. En d´eduire que toutes les normes sont ´equivalentes sur E.

1

6. Soit

Φ : (E,k · k_∗)→(R^d,k · k_∞) l’application d´efinie par

Φ(x) = (x₁, . . . , x_d) pour toutx∈E.

Montrer que Φ est un isomorphisme isom´etrique.

7. En d´eduire que les compactes deE sont les parties ferm´ees et born´ees

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