C ONTRÔLE DE M ATHÉMATIQUES DE Term S

C ^{ONTRÔLE DE} M ATHÉMATIQUES DE Term S

Le 22 Février 2018

EXERCICE 1 3 pts

Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de

ln 2

et/ou de

ln 5

(et uniquement ces deux-là !!!)

A= ln ( ⁽ √ ^{2+1 )(} √ ^{2−1 )} ) ^{+ln 4}

25

B= ln ( ^√ 2 ⁵ ) ^{+ ln ( 10 e}

²

⁾

EXERCICE 2 5 pts

Résoudre l’équation et l’inéquation suivantes, en prenant soin de chercher les conditions d’existence des solutions :

1) ln

(

3x−1

)

+ln

(

−x+5

)

=ln11 2¿ln

(

x

)

+ln

(

x−3

)

≤2 ln 2

EXERCICE 3 5 pts

Déterminer les limites de chacune des fonctions aux bornes de son ensemble de définition I. Indiquer les éventuelles asymptotes :

1) f

(

x

)

=xln

(

x+1

)

sur

I =¿−1;+

¿

∞

¿

¿

2

¿

g ( x )=ln ( x+1 ^x ) ^{sur I =¿− ∞;−1 [}

^∪

^{] 0 ;+ ∞}

^¿

EXERCICE 4 5 pts

Calculer, sans se soucier du domaine de définition, la dérivée des fonctions suivantes :

1)

f ( x )= x ln x

sur ¿

I =¿ 0 ;+ ∞

¿ ²⁾

f ( x )=( ln x )

^{2 sur} ¿

I=¿ 0 ;+∞

¿

3

¿

f ( x )=ln ( 3 x

²

+ 5 ) sur I = R

1

Un mathématicien fou monte dans un bus et se met à menacer tout le monde : - Je vais vous intégrer !! Je vais vous dériver !!

Tout le monde est effrayé et se sauve, sauf une jeune dame qui reste tranquille. Le mathématicien fou arrive vers elle et dit :

- Tu n'as pas peur ? Je vais t'intégrer !! Je vais te dériver !!

- Non, répond la jeune dame, je n'ai pas peur, je suis exp !!

EXERCICE 5 12 pts

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d’un repère orthonormé

( O ; i , ⃗ ⃗ j )

, la courbe représentative C d’une fonction

f

définie et dérivable sur l’intervalle ¿

¿

0 ;+ ∞

¿ ^.

On dispose des informations suivantes :

• les points

A , B , C

ont pour coordonnées respectives

( 1; 0) ,( 1 ; 2) ,(0 ; 2)

;

• la courbeC passe par le point B et la droite

( BC )

est tangente à C en B ;

• il existe deux réels positifs a et b tels que pour tout réel strictement positif x ,

f ( x )= a+ b ln x

x .

1)

a. En utilisant le graphique, donner les valeurs de

f (1)

et

f ' (1)

. b. Vérifier que pour tout réel strictement positif

x

,

f

^'

( x )= ( b−a)− b ln x

x

²

.

c. En déduire les réels a et b . 2)

2

a. Justifier que pour tout réel x appartenant à l’intervalle ¿

¿

0 ;+∞

¿ ^,

f ' ( x)

a le même signe que

−lnx .

b. Déterminer les limites de

f

en

0

et en

+∞

. On pourra remarquer que pour tout réel

x

strictement positif,

f ( x )= 2

x +2 ln x x .

c. En déduire le tableau de variations de la fonction

f

. 3)

a. Démontrer que l’équation

f ( x )=1

admet une unique solution α sur l’intervalle ¿0;1¿ . b. Par un raisonnement analogue, on démontre qu’il existe un unique réel

β

de l’intervalle ¿

¿

1;+ ∞

¿ tel que f

(

β

)

=1 .

Donner un encadrement de β à

10

^{−3 près.}

3