C ONTRÔLE DE M ATHÉMATIQUES DE T ERMINALE S

C ONTRÔLE DE M ATHÉMATIQUES DE T ERMINALE S

05/12/2018

EXERCICE 1 ^{16 pts}

Déterminer les limites suivantes, et interpréter graphiquement les résultats, si possible :

a¿ lim

x →+∞

x³+1 x²−2x−2

b¿lim

x →−1

(1+x)³ x²−2

c¿ lim

x →−∞

(

)

d¿lim

x →1 x>1

x²+3x+1 1−x

e¿lim

x →1 x<1

x²+3x+1 1−x

f¿lim

x →2 x<2

x²−5x+6 (x−2)²

g¿ lim

x →+∞

x−2

√

2+3x

h¿ lim

x →+∞

−3x³−x 2x³−x²+1

i¿ lim

x→+∞

(

)

j¿ lim

x →+∞

(

√

√

1

La qualité de la rédaction sera prise en compte dans la

EXERCICE 2 ^{14 pts}

But de l’exercice : Etudier la fonction f définie sur ℝ \ {1} par :

f(x)=2x+1 x³−1.

Partie 1 : Recherche des asymptotes

1) Etudier les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition ℝ \ {1}.

2) En déduire les équations des asymptotes à la courbeC représentant la fonction f dans un repère.

Partie 2 : Etude des variations de la fonction f

1) Etudier la dérivabilité de la fonction f et calculer sa fonction dérivée.

2) Pour étudier le signe de ^{f '} , on considère la fonction ^g définie sur ℝ \ {1} par

g(x)=−4x³−3x²−2 .

a. Dresser le tableau de variations de la fonction g .

b. En déduire que l’équation g(x)=0 admet une unique solution α dans ℝ \ {1}.

c. A l’aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de α à ₁₀⁻³ près.

d. En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x . 3) Dresser le tableau de variations de la fonction f .

Partie 3 : Etude d’une tangente

1) Donner l’équation de la tangente T à C en 0 . 2) Etudier la position relative de C et de T .

Partie 4 : Dans le repère

Compléter le tableau de valeurs, tracer les asymptotes à la courbe C , T et la courbe C sur la feuille annexe fournie.

2

BRUCE LEEDISAIT « Ne crains pas l'échec. Ce n'est pas l'échec, mais le manque d'ambition qui est un crime. Avec des objectifs élevés, l'échec peut être glorieux. »

MÉDITERDESSUS, MAISAPRÈSLECONTRÔLEBIENSÛR… BONCOURAGE…

Feuille annexe 05/12/2018

x f (x)

3

Nom Prénom : Classe : Term S