Universit´e Laval
Facult´e des sciences et de g´enie
D´epartement d’informatique et de g´enie logiciel MAT-22257
Danny Dub´e Hiver 2009
Version : 2 f´evrier
Travail pratique #1 — Solutionnaire
Ensembles et relations Questions et r´ eponses
1. D´emontrez les th´eor`emes suivants. Fournissez une d´emonstration d´etaill´ee avec les num´eros des propri´et´es utilis´ees. Notez que pour d´emontrer un th´eor`eme donn´e, vous ne pouvez utiliser que des propri´et´es introduites avant. Par exemple, vous ne pourriez pas utiliser la propri´et´e(11.73) dans la d´emonstration de la propri´et´e(11.71).
(a) (11.46) Affaiblissement :S∩T ⊆S.
x∈S∩T
= h (11.29) Axiome, intersectioni x∈S∧x∈T
⇒ h (3.92)(b)Affaiblissement i x∈S
Ayant ´etablix∈S∩T ⇒x∈S, le m´etath´eor`eme(7.23)nous permet d’affirmer : (∀x|:x∈S∩T ⇒x∈S). Or,
(∀x|:x∈S∩T ⇒x∈S)
= h (7.3) Axiome, transferti (∀x|x∈S∩T :x∈S)
= h (11.21) Axiome, sous-ensemblei S∩T ⊆S
(b) (11.74)S ⊂T ⇒T 6⊆S. (Note : U 6⊆V ≡ ¬(U ⊆V).) S ⊂T
= h (11.69) i S ⊆T ∧ ¬(T ⊆S)
⇒ h (3.92)(b)Affaiblissement i
¬(T ⊆S)
= h Abr´eviation ; voir la pr´es´eance des op´erateursi T 6⊆S
(c) (11.79)P∅={∅}.
x∈ P∅
= h (11.32) Axiome, ensemble puissancei x⊆ ∅
= h (3.52) Identit´e de ∧ i x⊆ ∅ ∧vrai
= h (3.100) M´etath´eor`eme : Deux th´eor`emes quelconques sont
´equivalentsavec (3.6)devient(11.68) i x⊆ ∅ ∧ ∅ ⊆x
= h (11.65) Antisym´etriei x=∅
= h (11.6) Appartenance, cas particulieri x∈ {y|y=∅:y}
= h (11.1)i x∈ {∅}
Par le m´etath´eor`eme (7.23), on a donc : (∀x|:x∈ P∅ ≡x∈ {∅})
= h (11.8) Axiome, extensionnalit´ei P∅={∅}
(d) (12.8) Distributivit´e de × sur ∪ :S×(T∪U) = (S×T)∪(S×U).
S×(T∪U) = (S×T)∪(S×U)
= h (11.8) Axiome, extensionnalit´ei
(∀x, y|:hx, yi ∈S×(T∪U)≡ hx, yi ∈(S×T)∪(S×U))
En utilisant le m´etath´eor`eme (7.23), il suffit d’obtenir l’´egalit´e suivante : hx, yi ∈S×(T∪U)
= h (12.4) Appartenancei x∈S∧y∈(T∪U)
= h (11.28) Axiome, unioni x∈S∧(y∈T∨y∈U)
= h (3.60) Distributivit´e de ∧ sur∨ i (x∈S∧y∈T)∨(x∈S∧y∈U)
= h (12.4) Appartenancei (hx, yi ∈S×T)∨(hx, yi ∈S×U)
= h (11.28) Axiome, unioni hx, yi ∈(S×T)∪(S×U) (e) (12.23)(b)Im(ρ−1) =Dom(ρ).
Im(ρ−1)
= h (12.18) i {c|(∃b|:b ρ−1c)}
= h Notation pour les relations binairesi {c|(∃b|:hb, ci ∈ρ−1)}
= h (12.19) i {c|(∃b|:hc, bi ∈ρ)}
= h Notation pour les relations binairesi {c|(∃b|:c ρ b)}
= h (12.17) i Dom(ρ)
(f) (12.33) Monotonie de ◦ : ρ⊆σ⇒ρ◦θ⊆σ◦θ.
ρ⊆σ⇒ρ◦θ⊆σ◦θ
= h (3.75) D´efinition alternative de ⇒ i
¬(ρ⊆σ)∨ρ◦θ⊆σ◦θ
= h (11.21) Axiome, sous-ensemblei
¬(ρ⊆σ)∨(∀x, y|:hx, yi ∈ρ◦θ⇒ hx, yi ∈σ◦θ)
= h (7.8) Axiome, distributivit´e de ∨ sur ∀ i (∀x, y|:¬(ρ ⊆σ)∨(hx, yi ∈ρ◦θ⇒ hx, yi ∈σ◦θ))
En utilisant le m´etath´eor`eme (7.23), il suffit de d´emontrer la proposition sui- vante :
¬(ρ⊆σ)∨(hx, yi ∈ρ◦θ⇒ hx, yi ∈σ◦θ)
= h (3.75) D´efinition alternative de ⇒ i ρ⊆σ⇒(hx, yi ∈ρ◦θ⇒ hx, yi ∈σ◦θ)
= h (3.81) Transferti
ρ⊆σ∧ hx, yi ∈ρ◦θ⇒ hx, yi ∈σ◦θ
On obtient cette derni`ere implication ainsi : ρ⊆σ∧ hx, yi ∈ρ◦θ
= h (12.24) D´efinition de ◦ i
ρ⊆σ∧(∃z|:hx, zi ∈ρ∧ hz, yi ∈θ)
= h (7.29) Distributivit´e de ∧ sur∃ i (∃z|:ρ⊆σ∧ hx, zi ∈ρ∧ hz, yi ∈θ)
= h (11.21) Axiome, sous-ensemblei
(∃z|: (∀a, b| ha, bi ∈ρ:ha, bi ∈σ)∧ hx, zi ∈ρ∧ hz, yi ∈θ)
= h (7.3) Axiome, transferti
(∃z|: (∀a, b|:ha, bi ∈ρ⇒ ha, bi ∈σ)∧ hx, zi ∈ρ∧ hz, yi ∈θ)
= h Utilisation indirecte de(7.11); r´esultat ´etabli plus basi (∃z|: (∀a, b|: (ha, bi ∈ρ⇒ ha, bi ∈σ)∧ hx, zi ∈ρ∧ hz, yi ∈θ))
⇒ h (7.37) ´Echange de ∀, ∃ i
(∀a, b|: (∃z|: (ha, bi ∈ρ⇒ ha, bi ∈σ)∧ hx, zi ∈ρ∧ hz, yi ∈θ))
⇒ h (7.20) ´Eliminationi
(∃z|: (hx, zi ∈ρ⇒ hx, zi ∈σ)∧ hx, zi ∈ρ∧ hz, yi ∈θ)
= h (3.82)i
(∃z|:hx, zi ∈ρ∧ hx, zi ∈σ∧ hz, yi ∈θ)
= h (7.26) Transferti
(∃z| hx, zi ∈ρ:hx, zi ∈σ∧ hz, yi ∈θ)
⇒ h (7.33) Affaiblissement du domainei (∃z|vrai∨ hx, zi ∈ρ:hx, zi ∈σ∧ hz, yi ∈θ)
= h (3.38) Z´ero de ∨ i (∃z|:hx, zi ∈σ∧ hz, yi ∈θ)
= h (12.24) D´efinition de ◦ i hx, yi ∈σ◦θ
Le r´esultat qu’il nous reste `a ´etablir est un cas particulier de (7.11) lorsque R=vrai.
(¬(∀z|:¬R)⇒((∀x|R:P∧Q)≡P∧(∀x|R:Q)))[R:=vrai]
= h i
¬(∀z|:¬vrai)⇒((∀x|:P ∧Q)≡P ∧(∀x|:Q))
= h Grˆace au r´esultat ´etabli plus basi vrai⇒((∀x|:P ∧Q)≡P ∧(∀x|:Q))
= h (3.89) Identit´e `a gauche de ⇒ i (∀x|:P ∧Q)≡P ∧(∀x|:Q)
L’´egalit´e qui reste `a prouver est la suivante :
¬(∀x|:¬vrai)
= h (7.24) Axiome, De Morgani (∃x|:vrai)
= h (3.37) Axiome, tiers exclusi (∃x|x=a∨x6=a:vrai)
= h (6.25) Axiome, division du domainecar on a x=a∧x 6=a≡ faux, grˆace `a (3.55) Contradictioni
(∃x|x=a:vrai)∨(∃x|x6=a:vrai)
= h (6.21) Axiome du pointi vrai∨(∃x|x6=a:vrai)
= h (3.38) Z´ero du ∨ i vrai
2. D´efinissez les ensembles suivants par compr´ehension.
(a) L’ensemble des naturels qui sont la somme de trois carr´es.
{x, y, z:IN|:x2+y2+z2}
(b) L’ensemble des naturels qui sont le produit de deux nombres premiers. Vous pouvez utiliser le pr´edicat ‘premier’.
{x, y:IN|premier(x)∧premier(y) :x·y}
3. Soit ρ ⊆ {1,2, . . . ,6} × {1,2, . . . ,6} la relation telle que x ρ y si et seulement si x divisey; c’est-`a-dire quex ρ y≡(∃z:IN|:x·z=y).
(a) Donnez le domaine deρ.
{1,2,3,4,5,6}
(b) Donnez l’image deρ.
{1,2,3,4,5,6}
(c) Donnez ρ−1. Vous pouvez dessiner la relation obtenue.
{h1,1i,h2,1i,h2,2i,h3,1i,h3,3i,h4,1i,h4,2i, h4,4i,h5,1i,h5,5i,h6,1i,h6,2i,h6,3i,h6,6i}
(d) D´ecrivez ρ−1 en fran¸cais de la mani`ere la plus simple possible.
x ρ−1y si et seulement si xest un multiple dey.
(e) Calculez ρ2.
{h1,1i,h1,2i,h1,3i,h1,4i,h1,5i,h1,6i,h2,2i, h2,4i,h2,6i,h3,3i,h3,6i,h4,4i,h5,5i,h6,6i}
A noter que` ρ2 =ρ.
(f) Indiquez lesquelles des 6 propri´et´es du tableau 12.1 ρ poss`ede. Except´e pour l’anti-sym´etrie, justifiez votre r´eponse. Siρa une propri´et´e, donnez une explica- tion convaincante (pas n´ecessairement une preuve). Si ρ n’a pas une propri´et´e, donnez un contre-exemple. Indice : pour la transitivit´e, utilisez la d´efinition 2.
R´eflexivit´e : oui. En choisissantz= 1, on a x·z=x et doncx ρ x.
Irr´eflexivit´e : non. Contre-exemple : 1ρ1.
Sym´etrie : non. Contre-exemple : 1ρ2 mais on n’a pas 2ρ1.
Antisym´etrie : oui.
Asym´etrie : non. Contre-exemple : 1ρ1.
Transitivit´e : oui. `A cause que ρ2 ⊆ρ.
