1 - Projections orthogonales et applications.

ÉCS2

Endomorphismes et matrices symétriques, et projections.

1 - Projections orthogonales et applications.

Pour déterminer le projeté orthogonal d’un vecteurusur un sous-evF,

☞ j’utilise que : pF(u)∈Fet u−pF(u)∈F^⊥ (la seconde condition étant équivalente à pF(u)−u∈F^⊥,

☞ OU si je possède une b.o.n. B= (ei)16i6p deF, alorspF(u) = Xp

i=1

hu, eiiei

−→ u−pF(−→ u) F

F^⊥

p^F(−→u)

−

→u

F

−→

w2 −w→3

−→ w1 −→

0 pF(−→u)

−

→u

p^F(u)∈Fetu−p^F(u)∈F^⊥

Parmi tous les vecteurs−→w deF, pF(−→u)est le plus proche de−→u, i.e.

celui tel que||−→u − −→w||est minimale.

Pour déterminer le minimum de||−→u − −→v|| lorsquev décrit un sous-evF, j’utilise la propriété de meilleure approximation en norme qui dit que_−→min

v∈F||−→u − −→v||

est obtenu lorsquev=pF(−→u). Je calcule doncpF(−→u)puis||−→u −pF(−→u)||.

Pour déterminer le minimum d’une somme de carrés d’expressions linéaires,

☞ j’écris cette somme comme ||u−v||² où u est un vecteur fixe et v un vecteur variable d’un sous-ev F. Alors le minimum est obtenu lorsque v=p^F(u),

2 - Endomorphismes et matrices symétriques.

Les projections orthogonales et les symétries orthogonales sont des endomorphismes symétriques.

Pour montrer qu’un endomorphisme f est symétrique,

☞ SI M est la matrice de f dans une base orthonormale, alors f est symétrique si, et seulement si,Mest symétrique,

☞ OU je vérifie que∀u, v∈E, hf(u), vi=hu, f(v)i.

Pour diagonaliser un endomorphisme symétrique ou une matrice symétrique,

Valeurs propres.Tout endomorphisme symétrique (resp. toute matrice symétrique réelle) admet au moins une valeur propre réelle, et toutes ses valeurs propres sont réelles.

Vecteurs propres.Les vecteurs propres d’un endomorphisme symétrique (resp. d’une matrice symétrique) associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux deux à deux.

Sous-espaces propres. Les sous-espaces propres d’un endomorphisme symétrique (resp. d’une matrice symétrique) sont deux à deux orthogonaux.

Diagonalisation des endomorphismes symétriques.

Soitf un endomorphisme symétrique de E. Alors :

☞ f est diagonalisable ;

☞ Il existe une base orthonormale deEformée de vecteurs propres def.

Diagonalisation des matrices symétriques réelles.

SoitA une matrice symétrique réelle de Mn(R) (Mn,1(R)étant muni du produit scalaire canonique). Alors :

☞ Aest diagonalisable ;

☞ Il existe une base orthonormale de Mn,1(R) formée de vecteurs propres deA.

☞ Il existe une matrice orthogonalePtelle que

• D = ^tP.A.Pest diagonale ;

• ∀ℓ∈N, A^ℓ= P.D^ℓ.^tP.

• SiDest inversible, alors∀ℓ∈Z, A^ℓ = P.D^ℓ.^tP.

Remarque : Lorsque je diagonalise une matrice symétrique, j’ai intérêt à choisir une base orthonormée de vecteurs propres. La matrice de passagePsera alors orthogonale et son inverse sera ^tP, ce qui m’économise l’inversion d’une matrice.

3 - Compléments sur les projections orthogonales et les symétries orthogonales.

Résultats à savoir retrouver.

F

pF(−→u)

−

→u

sF(−→u)

La symétrie orthogonale par rapport àFest définie par s^F= 2p^F−Id^E, soit encore∀−→u ∈E,s^F(−→u) = 2p^F(−→u)−

−

→u.

Comme toute symétrie, elle vérifie s²F =Id^E. C’est un automorphisme ets⁻¹F =s^F.

Ses valeurs propres sont −1 et 1, et E−1 = F^⊥ tandis queE¹= F.

Soitf un endomorphisme deEetMsa matricedans une b.o.n.. Alors :

☞f est une projection orthogonale ssi (M²= Met ^tM = M),

☞f est une symétrie orthogonale ssi (M²= In et ^tM = M).

1/1