￿￿￿ EXTREMUMS : EXISTENCE, CARACTÉRISATION, RECHERCHE. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

Soitfune fonction à valeurs réelles définie sur unR-espace vectoriel norméE.

I. Existence et unicité d’extremums

D����������. On dit quefadmet un minimum (resp. maximum) local enx0œEs’il existe un voisinageV dex0tel que’xœV, f(x)Øf(x0)(resp.’xœV, f(x)Æf(x0)).

On dit quef admet un minimum (resp. maximum) global enx0 œ Esi’x œ E, f(x) Ø f(x0)(resp.’xœE, f(x)Æf(x0)).

Un extremum defest un maximum ou un mimimum def.

R��������. Un extremum global est bien sur un extremum local.

E�������. x‘≠æx²admet un minimum global en0.cosadmet un maximum global en les (2kfi)_kœZ. L’applicationx‘≠æ(x≠1)x(x+1)admet un minimum local mais pas d’extremums.

I. A. Compacité et coercivité

P�����������. Une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes.

A�����������. SoitKun compact deE,Fun fermé deE, avecKetFdisjoints. AlorsK≠æ R, x‘≠æd(x, F)atteint son minimum notéd(K, F).

A�����������. Soitf une application définie sur un compactK et contractante. Alorsf admet un unique point fixe.

D����������. On dit quefest coercive silim_ÎxÎæ+Œf(x) = +Œ. E�������. Une norme est coercive. Une forme linéaire ne l’est pas.

P�����������. SiE=Rⁿetfest coercive et continue, alorsfest minorée et atteint son minimum global.

I. B. Convexité

D�����������. [�������� �������,�������� �������]

Un ensembleEest convexe si pour toutx, yœEettœ[0,1], on atx+ (1≠t)yœE.

fest dite convexe si’x, yœE,’tœ[0,1], f(tx+ (1≠t)y)Ætf(x) + (1≠t)f(y).

fest dite strictement convexe si’x, yœE,’tœ]0,1[, f(tx+(1≠t)y)Ætf(x)+(1≠t)f(y).

T���������. En dimension finie, sifest convexe alors elle est continue.

E��������. Une norme surEest convexe. PourAœSⁿ(R),f :x‘≠æ ÈAx|xÍest convexe si et seulement siAœSn⁺(R), et strictement convexe si et seulement siAœSn⁺⁺(R).

P������������. Sifconvexe admet un minimum local, alors c’est une minimum global. De plus l’ensemble des minima est convexe.

Si de plusfest strictement convexe, alors elle admet au plus un minimum, qui est alors global.

I. C. Dans les espaces de H������

[Gou��, An.B, p���–���] [Bre��, ChV/VIII, p��–��/���] [BMP��, §�.�.�, p��–���]

SoitHun espace deH������.

T���������. [���������� ��� �� ������� �����]

SoitCun convexe fermé deH. Alors :

’xœH,÷!pœC| Îx≠pÎ=d(x, C)

De plus,pest l’unique élément deCsatisfaisant’cœC,Ÿ(Èx≠p|c≠pÍ)Æ0.

E��������. SiCn’est pas convexe : soitH =RetC=R\]≠1,1[. Alors1et≠1minimisent la distance de0àC.

C�����������. SoitFun sous-espace vectoriel fermé deH. AlorsH=FüF^‹. A������������. [�������� ��R����-F������]

Pour toute application„œH^Õ, il existe un uniquef œHtel que’vœH,„(v) =Èf |vÍ.

De plus„‘≠æfest une isométrie (ÎfÎH=΄ÎH^Õ).

A������������. Existence et unicité de l’adjoint d’un opérateurT œH^Õ. T���������. [�������� ��L��-M������]

Soita:H²≠æ Rune forme bilinéaire continue et coercive. Alors pour tout¸ œH^Õ, il existe un uniqueuœHtel que’vœH, a(u, v) =¸(v).

Si de plusaest symétrique alorsuest l’unique élément deHminimisantv‘≠æ ¹₂a(v, v)≠¸(v).

A������������. [�������� ��D�������� ������]

SoitI=]0,1[etf œL²(I). Alors

÷!uœH₀¹(I)|’vœH₀¹(I),⁄

I

u^Õ.v^Õ+⁄

I

uv=⁄

I

f v

De plusuminimise la fonctionv‘≠æ ¹₂s

I|v^Õ|²+v²≠s

If v.

I. D. Holomorphie

On se place surE=Cet on considèref œH( )où est un ouvert connexe non vide deC. T���������. [������� �� �� �������]

Soitz0œ etr >0tel queD(z0, r)µ . Alorsf(z0) = _2fi¹ s2fi

0 f(z0+re^i◊)d◊.

T���������. [�������� �� ������� �����]

Soitf œH( )telle quesup |f|est atteint. Alorsfest constante.

C�����������. Sifne s’annule pas etinf |f|est atteint, alorsfest constante.

T���������. [�������� �� ������� ������]

Soitf œH( )flC( ). Alorsmax |f|= maxˆ |f|et s’il existez0œ réalisant le maximum, alorsfest constante sur .

A������������. [�������� �� �’A�������-G����]

Tout polynôme deC[X]non constant admet au moins une racine complexe.

A������������. [����� ��S������]

SoitD=D(0,1). Soitf :D≠æDholomorphe telle quef(0) = 0.

Alors|f^Õ(0)|Æ1et’zœD\ {0},|f(z)|Æ|z|.

De plus, si|f^Õ(0)|= 1ou s’il existezœD\ {0},tel que|f(z)|Æ|z|, alorsfest une rotation.

II. Extrema et calcul di�érentiel

II. A. Conditions du premier ordre et applications

[Gou��, §�.�/�.�, p��/���] [Rou��, p���]

SoitUun ouvert deRⁿetfdéfinie surU.

D�����������. Sifest di�érentiable enx₀œUet sidf(x0) = 0, on dit quex₀est un point critique def.

P������������. Six₀est un extremum local def et sif est di�érentiable enx₀, alorsx₀ est un point critique.

E��������. Attention ce n’est qu’une condition nécessaire :x‘≠æx³n’admet pas d’extre- mum en0.

E��������. Etude des extremums def : (x, y) ‘≠æ x⁴+y⁴≠2(x≠y)²: il n’y a pas de maximum local, et les seuls minimums locaux sont globaux et sont±(Ô2,≠Ô2).

T���������. [�������� ��R����]

Soitf : [a, b] ≠æ Rune fonction continue sur[a, b], dérivable sur]a, b[et telle quef(a) = f(b). Alors il existecœ]a, b[tel quef^Õ(c) = 0.

A������������. [�������� ��� �������������� �����]

Soitf : [a, b]≠æRune fonction continue sur[a, b], dérivable sur]a, b[. Alors il existecœ]a, b[

tel quef^Õ(c) = ^f(b)≠f(a)_b≠a .

II. B. Conditions du second ordre

P������������. Soitx0œUun point critique def. On supposefde classeC²enx0. Alors : (i) six0est un minimum (resp. maximum) local, alorsd²f(x0)est positive (resp. négative), (ii) sid²f(x0)est définie positive (resp. définie négative), alorsx0est un minimum (resp.

maximum) local.

E��������. Ce n’est pas une condition nécessaire : prendrex‘≠æx⁴.

T���������. [����� ��M����]

Soitf : U ≠æ Rune fonction de classeC³définie sur un ouvertUdeRⁿcontenant0. On suppose quedf(0) = 0etd²f(0)est non dégénérée, de signature(p, n≠p).

Alors il existe unC¹-di�éomorphismeÏentre deux voisinages de l’origine deRⁿtel que„(0) = 0etf(x)≠f(0) =Ï(x)²₁+· · ·+Ï(x)²_p≠Ï(x)²_p+1≠· · ·≠Ï(x)²_nau voisinage de0.

A������������. Soitx0un point critique deftel que la hessienne def est non dégénérée.

Alors c’est un minimum (resp. maximum) local si et seulement si la hessienne est de signature (n,0)(resp.(0, n)).

De plus, si la hessienne est de signature(p, n≠p)pour1ÆpÆn≠1, alors on a des directions vpour lesquellesx0sera minimum local deh‘≠æf(x+hv)et d’autres pour lesquellesx0sera maximum local.

E��������. [���n= 2]Soitx₀un point critique deftelle queD²f(x0) =3 r s s t

4 . Alors

• sirt≠s²>0etr+t >0,x0est un minimum local,

• sirt≠s²>0etr+t <0,x0est un maximum local,

• sirt≠s²<0,x0n’est pas un extremum,

• sirt≠s²= 0, on ne peut pas conclure.

E��������. Pour le dernier cas, on peut considérer :

f(x, y) =x⁴ f(x, y) =≠x⁴ f(x, y) =x⁴≠y⁴

II. C. Optimisation sous contraintes

[BMP��, §�, p��] [Gou��, §�.�/�, p���/���] [Rou��, Ch�, p���]

T���������. [�������� ��� ������� ����]

Soitf, g1, . . . , gr:U µRⁿ≠æRdes fonctions de classeC¹définies surUouvert.

Notons ={xœU|g1(x) =· · ·=gr(x) = 0}. Sif_| admet un extremum local enaœ et si les formes linéaires(dg1(a), . . . , dgr(a))sont libres, alors il existe des réels (uniques)

⁄1, . . . ,⁄r, appelés multiplicateurs deL�������, tels que

df(a) =ÿ^r

i=1

⁄idgi(a)

A������������. Tout endomorphisme symétrique deEadmet une valeur propre réelle.

A������������. [��������� ��H�������]

(i) Soientx₁, . . . , xndes vecteurs de(E,È.|.Í)un espace préhilbertien (réel ou complexe). . Alors|det((Èxi|xjÍ)1Æi,jÆn)|Ærn

i=1Îxiβ.

(ii) Soientx1, . . . , xndes vecteurs deCⁿ. Alors|det(x1, . . . , xn)|Ærn

i=1ÎxiÎ2, oùÎ.Î2dé- signe la norme hermitienne standard surCⁿ.

Dans les deux points, on a égalité si et seulement si la famille{xi}1ÆiÆnest orthogonale ou l’un des vecteurs est nul.

III. Optimisation numérique

III. A. Méthode de N�����

T���������.

Soitf : [c, d]≠æRune fonctionC², oùc < d, et telle quef(c)<0< f(d)etf^Õ>0sur[c, d].

On considère la suite récurrente définie parx₀œ[c, d]etx_n+1=xn≠f^f(xÕ(xⁿn⁾)pournœN. Alors en notantal’unique0def, on a :

(i) il existe–>0tel que pour toutx₀œ[a≠–, a+–],(xn)_nœNconverge versade manière quadratique : il existeC >0telle que’nœN,|xn+1≠a|ÆC|xn≠a|².

(ii) si de plusf^ÕÕ >0sur[a, d], alors pour toutx0 œ]a, d],(xn)nœNest strictement décrois- sante etxn+1≠a≥ⁿæ+Œ f^ÕÕ(a)

2f^Õ(a)(xn≠a)².

A������������. Approximation des zéros d’un polynôme.

III. B. Méthode de descente

T���������. [������� �� �������� � ��� �������]

Soitf :Rⁿ≠æRelliptique, c’est-à-direfestC¹et telle qu’il existe–>0satisfaisant

’x, yœRⁿ,ÈÒf(x)≠ Òf(y)|x≠yÍ Ø–Îx≠yβ

On définit(xn)_nœNparx₀œ Rⁿetx_n+1=xn≠flnÒf(xn)oùfln = argmin_fl>0f(xn≠ flÒf(xn)). Alors(xn)_nœNconverge vers l’unique minimum global def.

A������������. SoitAœ Sn⁺⁺(R)etb œRⁿ. L’applicationf : x‘≠æ ¹₂ÈAx| xÍ ≠ Èb | xÍ admet un unique minimumxcaractérisé parÒf(x) = Ax≠b = 0. On converge vers cette solution par l’algorithme de gradient à pas optimal.

III. C. Problème des moindres carrés

Soientn, pœNetAœM^{n, p}(R)etbœRⁿ. On cherche un vecteurxœR^ptel queÎb≠AxÎ2= infyœR^pÎb≠AyÎ2.

P������������.

(i) Il existe toujours une solution au problème, (ii) xest solution si et seulement siA^€Ax=A^€b,

(iii) SinØpetrg(A) =p,A^€Aest inversible et il existe une unique matrice réelleBtriangu- laire inférieure, à diagonale positive, telle queA^€A=BB^€, et alorsx= (BB^€)^≠1A^€b est une solution.

������ ������

La recherche d’extremums a de nombreuses applications dans divers domaines (informatique, économie, ...). Dans cette leçon on s’intéresse d’abord aux conditions d’existence et d’unicité, selon que l’on soit sur un compact, dans un espace deH������, ... puis on fait ensuite le lien avec le calcul di�érentiel, notamment sif est définie surX µ Fespace vectoriel normé de dimension finie, les extrema sont à chercher parmi les points critiques, les points intérieurs à Xoùfn’est pas di�érentiable et les points non intérieurs àX(faire un schéma).

���������

Q SoitAœM^{n, p}(R)de rangpÆnetbœRⁿ.x‘≠æ ÎAx≠bÎ₂admet-elle un minimum?

R Posonsf :x‘≠æ ÎAx≠bβ2. Alorsfest di�érentiable etÒf(X) =A^€AX≠A^€bs’annule si et seulement six = (A^€A)^≠1A^€b(carA^€A œ Mⁿ(R)a même rang queA, donc est inversible^�). AinsiÎAx≠bÎ2Ø.

.A(A^€A)^≠1A^€b≠b..₂et ce minimum est atteint.

Q MinimiserX^€Y oùY œRⁿest fixé etq

ix²_i Æ1.

R On définitf :X ‘≠æX^€Y etg:x‘≠æ Îxβ2≠1.

Montrons d’abord que sifest convexe surCconvexe, elle atteint son maximum surˆC. En e�et,fest convexe donc est continue. Six^ú= argmax_Cf /œˆC, écrivonsx^ú=q¸

i=1⁄ixi

où(xi)1ÆiƸ œˆCetq¸

i=1⁄i = 1, les(⁄i)1ÆiƸétant strictement positifs. Par convexité puis définition dex^ú,f(x^ú)Æq

i⁄if(xi)Æf(x^ú)et doncf(xi) =f(x^ú)pour1ÆiƸ.

Dans notre problème,fest linéaire donc convexe, doncmax_B(0,1)≠fest atteint surS(0,1).

Sur la sphère, on aÒg(X) = 2X ”= 0, etdf(X)H = ÈH | YÍ. Le théorème des extrema liés donne que siXest un extremum local il existe⁄œRtelle quedf(X) =⁄dg(x), ce qui donne⁄=±2/ÎYÎ2, puisX^€.Y =±ÎYÎ2.

Remarque : on pouvait utiliser directement l’inégalité deC�����-S������.

Q Soitf : Rⁿ ≠æ Rde classeC²telle que pour toutx, les valeurs propres ded²f(x)sont dans[–,—]avec–>0. Montrer quefa un unique minimum global.

R On ad²f(x)(h, h) Ø –|h|². On en déduit quef(h)≠f(0)≠df(0)h Ø ^–₂Îhβ. Doncf est coercive. Elle atteint son unique mimimum global. Pour le trouver, on peut utiliser l’al- gorithme de gradient à pas fixe. Quelle condition su�isante sur le pas· faut-il pour avoir convergence?

PosonsF(X) =X ≠·Òf(X). On adF(X)(H) = H ≠·H^€d²f(X)H, doncdF(X) = I≠·Ò²f(X). Comme..Ò²(f(X))..₂Æ—, on a convergence si·< _—¹.

En faitSp(dF(X))µ[1≠· —,1≠· –]doncfl(dF(X))Æmax(|1≠· —|,1≠· –)<1pour

· <_—².

Q Soitf œH( )qui ne s’annule pas. Soitz= min |f|. Montrer quezœˆ .

R g = _f¹ œ H( ). On applique le principe du maximum àg, qui atteint ses bornes surˆ , donc son minimumzœˆ .

�. il est clair queker(A) ker(A^€A). Réciproquement si ^€ = 0, ...

�������������

[AK��] G.A������et S.-M.K����:Algèbre linéaire numérique. Ellipses,����.

[BMP��] V.B���, J.M�����et G.P����:Objectif Agrégation. H&K,�^èmeédition,����.

[Bre��] H.B�����:Analyse fonctionnelle : théorie et applications. Dunod,����.

[FGN��] S.F��������, H.G�������et S.N������:Oraux X-ENS - Analyse�. Cassini,����.

[Gou��] X.G������:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�^èmeédition,����.

[Rou��] F.R�������:Petit guide de calcul di�érentiel. Cassini,����.