Chapitre III : Dérivées (compléments)
Objectifs :
1. Savoir calculer les dérivées de √ u ( x ) , de (u ( x ))
nn étant un entier relatif non nul, et de f(ax + b)
.2. Sinus et cosinus : Connaître les dérivée, parité, périodicité, représentation graphique.
Activité d'approche n°1
On définit une famille de fonctions g
npar g
n(x)=[u(x]
n, où u(x) est une fonction
dérivable sur l'intervalle étudié, et n est un entier naturel positif.
1. Déterminer g'
2en fonction de u(x) et u'(x).
...
...
...
...
2. Déterminer g'
3en fonction de u(x) et u'(x).
...
...
...
...
...
...
...
...
3. Conjecturer g'
n.
...
...
...
4. Démontrer la conjecture.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
4. Comment généraliser la formule pour n entier relatif ?
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Cours n°1
Chapitre III : Dérivées (compléments)
Remarques :
1. Réviser les formules de dérivation.
2. Soit f une fonction dérivable, c
fsa courbe représentative. Une équation de
la tangente à c
fau point d'abscisse a est donnée par :
y=f '(a)x + . ( vaut f(a) – af '(a))
3. Le taux d'accroissement est f ( a+ h)− f (a )
h et sa limite quand h tend vers 0
est la dérivée de f en a .
I) Dérivée de (u ( x))
nPropriété n°1
Soit n un nombre entier relatif et u(x) une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction u
nest dérivable et sa dérivée vaut …...
Démonstration: cf activité 1.
Exemple n°1 :
Dériver la fonction f définie par f ( x )= ( 2 x x –
2– 1 4 )
5.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exercice n°1 Ex.5 p.84
...
...
...
...
...
...
Exercice n°2 Ex.7 p.84
...
...
...
...
...
...
..
Activité d'approche n°2
Soit u(x) une fonction dérivable et positive sur un intervalle I. On définit la fonction f par f(x)= √
(u(x)).
1. Exprimer le taux d'accroissement (h) de f en a.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2. En multipliant par la quantité adéquate, démontrer que :
(h) = u ( a+h)−u (a )
h × 1
√ u (a +h)+ √ u (a )
...
...
...
...
...
3. En déduire la dérivée de f.
...
...
...
...
...
...
...
...
Cours n°2
II) Dérivée de √
u(x)Propriété n°2
Soit u(x) une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction √
(u(x))est
dérivable et sa dérivée vaut
…...
…...
…...
Démonstration: cf activité 2.
Exemple n°2 :
Dériver la fonction f définie par f ( x )= √ 2 x x –
2– 1 4 .
...
...
...
...
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...
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...
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...
...
...
...
...
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Exercice n°3 Ex.3 p.84
...
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Exercice n°4 Ex.4 p.84
...
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...
...
...
..
Cours n°3
III) Dérivée de f ( ax+b ) Propriété n°2
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction g définie par
g(x)=f(x+) est dérivable et sa dérivée vaut...
Démonstration :
Le taux d'accroissement de g en a est donné par :
...
...
...
Ce qui donne :
...
...
...
En posant T=a+ et H=h :
...
...
...
D'où :
...
...
...
Exemple n°3 :
Dériver la fonction f définie par f ( x )=(2 x – 4)
2−3 (2 x – 4 ) .
...
...
...
...
...
...
Propriété n°3 (admise)
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.Soit f une fonction dérivable
sur un intervalle J contenant u(I). La fonction g définie par g(x)=f(u(x)) est
dérivable et sa dérivée vaut...
Exercice n°5*
Ex.53 p.86
...
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Exercice n°6*
Ex.56 p.86
...
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..
Activité d'approche n°3
Dérivabilité de sinus et de cosinus.
On travaille sur l'intervalle ]0 ; π
2 [.
a. Que peut-on dire de lim
x
→
0sin x
x ?
…...
b. Exprimer IT en fonction de sinx et cosx.
...
…...
c. Ranger par ordre croissant les aires du secteur angulaire OIM, du triangle OTI et du triangle OIM.
...
…...
d. En déduire que sin x x sin x
cos x , puis que cos x sin x x 1.
...
...
...
...
...
...
...
I x
J M
O Sin x
cos x
T
...
...
e. En déduire lim
x
→
0sin x
x
...
...
...
f. En déduire la dérivée de sinus en 0.
...
...
...
g. Démontrer que cos h – 1
h = sin h
h × −sin h cos h+ 1 .
...
...
...
...
...
...
h. En déduire la dérivée de cosinus en 0.
...
...
...
i. Démontrer que sin (a +h)−sin a
h =sin a × cos h−1
h + cos a× sin h h
...
...
...
k. En déduire la dérivée de sinus en tout point.
...
...
...
...
...
On déterminerait ensuite de façon similaire la dérivée de cosinus (en utilisant cos x = sin (x + π
2 ) et cos (x + π
2 ) = – sin (x).)
Cours n°4
IV) Dérivées de sinus et cosinus Remarque :
Revoir les formules d'addition, de duplication, et autres relations trigonométriques de première, ainsi que les valeurs particulières.
Propriété n°4
(sin x)'=... et (cos x)'= …...
Démonstration : cf activité d'approche n°3 Propriété n°5
lim
x
→
0sin x
x =... et lim
x
→
0cos x−1
x =...
Démonstration : cf activité d'approche n°3 Propriété n°6
La fonction sinus est impaire : sin (-x) = …...
La fonction sinus est périodique de période 2 : sin (x+ 2) = …...
La fonction cosinus est paire : cos (-x) = …...
La fonction sinus est périodique de période 2 : cos (x+ 2) =…...
Exemple n°4
Étudions les variations de la fonction f(x)=2 – cos(2x) : 1. La fonction est-elle paire ? Impaire ? Justifier.
...
...
...
...
2. Calculer f(x+) en fonction de f(x). Que peut-on en déduire ?
...
...
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...
3. Calculer la dérivée de f et étudier son signe. En déduire le tableau de variation de f sur [0;2].
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Exercice n°7 Ex.68 p.87
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Exercice n°8 Ex.87 p.88
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Exercice n°9**
Ex.107 p.89
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Exercice n°10**
Sujet A p.97
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Exercice n°11***
Sujet D p.98
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Exercice n°12***
Ex.143 p.99
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Résultats ou indices
Exercice n°1 -Ex.5 p.84- f ' (x)=2(x+1) et g' (x)=3(x+1)2
Exercice n°2 -Ex.7 p.84- f ' (x)=6(2x+1)2 et g' (x)=4(2x+1)(x2+x)3 Exercice n°3 -Ex.3 p.84- f ' (x)= 1
√
2x+1 et g' (x)= 3 2√
3x+5Exercice n°4 -Ex.4 p.84- f ' (x)= x
√
x2+1 et g' (x)= 3x√
3x2+1Exercice n°5* -Ex.53 p.86- 1.f '(x)= 2v'(x)(2x–1), g'(x)= – 3v'(x)(–3x), et h'(x)= –v'(x)(5 – x). 2. f'(x)=
1
2x2–2x+1 , g' (x)= −3
(−3x)2+1 et h' (x)= −1 (5– x)2+1
Exercice n°6* -Ex.56 p.86- 1. f ' (–1) = 9 et f ' (1)= – 3. 2. g' (–1)=3, g' (1)=9, h' (0,5)= – 6, k' (1)=9.
Exercice n°7 -Ex.68 p.87- f ' (x)= –2cos x + 2xsin x et g' (x)= 2xsin x + x2cos x.
Exercice n°8 -Ex.87 p.88-
lim
x→+∞
f ( x)=−∞ lim
x→−∞
f (x )=+∞
Exercice n°9** -Ex.107 p.89- 1.a. f(-x)=f(x) et f(x + )=f(x). 1.b. cf est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et on peut compléter la courbe par translation de vecteur k⃗i 2.f ' (x)=
2sin x cos x 3. Sur [0 ; π
2 ], f ' (x)0. 4.
Exercice n°10** -Sujet A p.97- 1. x ∈ [0;1[ 2. A(x)=(2+2x)
√
1−x22 et V(x)=2(1+x)
√
1−x2 3.V '(x)=2×1−x−2x2
√
1−x2 4. x=0,5.Exercice n°11*** -Sujet D p.98- 1.a.
1.b. f ' (x)= 1
2– cos x.
1.c. 1,89<x0<1,90
2.a. T=sin cos . 2.b. S = – sin cos . 2.c. =x0. Exercice n°12*** -Ex.143 p.99- 1.a. '(t) = 2π
T 0cos( 2π
T t + ). 1.b. = π
2 2.a.(t) = π 36 sin(t + π
2 ) 2.b. a pour période 2. 2.c. Si t
∈ [0;1], '(t)0, si t ∈ [1;2], '(t)0. 2.d.
3.
4.a. (0,5)
≈0 : équilibre, 4.b.
(1) ≈ –0,09 rad : -5° de sa position d'équilibre.
4.c.(1,5)
≈0 : équilibre, 4.d. (2) ≈ 0,09 rad : 5° de sa position d'équilibre. . . 4 e (3) ≈ -0,09 rad : -5° de sa position d'équilibre.
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