Calculer des mesures d'angles
I Angles particuliers :
Définition : Un angle aigu mesure moins de 90°, un angle obtus mesure plus de 90° et un angle plat mesure 180°.
Définition : La bissectrice d'un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure (en deux parts égales)
Définition : Deux angles sont dits opposés par le sommet lorsque : – ils ont le même sommet
– et que leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre
Remarque : Sur la figure ci-contre, les angles de même couleur sont opposés par le sommet.
On peut dire que deux angles opposés par le sommet forment « une croix » Propriété: Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure.
II Mesures d'angles et parallélisme :
Définition : Lorsqu'on a deux droites (d) et (d') et (s) une droite sécante (qui coupe les deux droites (d) et (d')), on appelle angles alternes-internes deux angles qui n'ont pas le même sommet et qui se situent entre les droites (d) et (d') et de part et d'autre de la sécante (s).
Et on appelle angles correspondants deux angles qui n'ont pas le même sommet et qui se situent du même côté de la sécante (s), l'un entre les droites (d) et (d') et l'autre à l'extérieur.
Ici, ̂EDB et ̂DEC sont des angles alternes-internes.
̂EDB et ̂GEF sont des angles correspondants.
Voici des petites vidéos pour vous aider à identifier :
- des angles correspondants : https://youtu.be/FjEKDKiNqxs -des angles alternes-internes : https://youtu.be/Zvy3ywBtP4c Propriété (utilisée lorsqu'on sait qu'on a deux droites parallèles):
Si 2 droites sont parallèles alors les angles alternes-internes (ou correspondants) formés par une sécante sont de même mesure
Propriété réciproque (pour montrer qu'on a deux droites parallèles):
Si 2 droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes (ou correspondants) de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.
Cas particulier (propriété vue en 6ème) : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.
On peut alors calculer les mesures d'angles lorsqu'on sait qu'on a deux droites
parallèles qui forment des angles alternes-internes ou même prouver que des droites sont parallèles si on a deux angles alternes-internes de même mesure qui sont formés par ces deux droites.
III Mesures d'angles dans un triangle :
Propriété: La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°
Démonstration:
On a un triangle quelconque ABC et (DE) est la droite parallèle à (AC) passant par B comme sur le schéma ci-contre.
On sait que ((DB)//(AC) et ̂DBA et ̂BAC sont des angles alternes- internes formés par les droites (BD) et (AC) et la sécante (AB)
Or Si 2 droites sont parallèles alors les angles alternes-internes formés par une sécante sont de même mesure
Donc ̂DBA=̂BAC
De la même façon, ̂CBE=̂BCA
Donc ̂BAC+̂ABC+̂BCA=̂DBA+̂ABC+̂CBE=̂DBE=180°
Exemple: Calculer la mesure de l’angle ̂ABC On sait que dans le triangle ABC, ̂BAC=65° et̂ACB=45° .
Or dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°.
Donc ̂ABC=180−(65+45)=180−110=70°
Propriété: Dans un triangle équilatéral, tous les angles mesurent 60°.
Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont de même mesure.
Exercices :
1. Dans la figure ci-dessous, ABCD est un carré et ABE est un triangle équilatéral. Calculer les mesures des angles
̂DAE ,̂EBC ,̂AED ,̂BEC et̂DEC
