Séquence 6 : Angles et Triangles semblables
Plan de la séquence :
I- Angles alternes-internes.
II- Triangles semblables
1- Reconnaitre des triangles égaux 2- Reconnaitre des triangles semblables
Séquence 6 : Angles et Triangles semblables
Faire les questions flash P 414 indigo Faire l’activité 1 P216 myriade
I- Angles alternes-internes.
1) Définition : On dit que les deux angles marqués en rouge sont alternes-internes.
* ils se trouvent à l’intérieur (interne) de la bande formée par (d) et (d’),
* ils sont de part et d’autre (alternes) de la sécante.
Définition :
Soit deux droites (d) et (d’) coupées par une sécante.
Dire que deux angles formés par ces trois droites sont ALTERNES-INTERNES signifie que :
– ils n’ont pas le même sommet ;
– ils sont de part et d’autre de la sécante ;
– ils sont à l’intérieur de la bande délimitée par les deux droites (d) et (d’).
Remarque :
Deux droites et une sécante déterminent deux couples d’angles alternes-internes.
Ainsi, sur la figure précédente, on peut trouver deux autres angles alternes-internes :
Faire les exercices 2, 3, 4 P220 myriade
2) Propriétés
Si deux droites sont parallèles
alors les angles alternes-internes reposant sur ces droites sont égaux.
Si deux angles alternes-internes sont égaux alors les droites sur lesquelles ils reposent sont parallèles.
Faire l’exercice 2 (question flash P418 indigo) Faire l’exercice 6 P220 Myriade
Faire les activités 3 et 4 P415. Mise en commun Faire les questions flash (7) P 418
II- Triangles semblables 1) Reconnaitre des triangles égaux.
Définition :
Deus triangles sont égaux lorsque leurs côtés sont deux à deux de même longueur.
Les triangles ABC et EFG sont égaux « isométriques » car : AB = EF
AC = EG CB = FG
Propriété :
Si deux triangles sont égaux alors leurs angles sont deux à deux de même mesure.
Les triangles ABC et EFD sont égaux « isométriques » car : 𝐴̂ = 𝐹̂
𝐵̂ = 𝐷̂ 𝐶̂ = 𝐸̂
Les deux triangles égaux sont superposables.
Propriétés :
1) Si deux triangles ont, 2 à 2 un angle de même mesure
compris entre deux côtés de même longueur, alors ils sont égaux.
AB = A’B’
BC = B’C’
𝐵̂ = 𝐵′̂
2) Si deux triangles ont, 2 à 2 un côté de même longueur
compris entre deux angles de même mesure, alors ils sont égaux.
BC = B’C’
𝐵̂ = 𝐵′̂ et 𝐶̂ = 𝐶′̂
Faire les exercices. 9, 10 et 11 P 419
Faire les questions flash P 419
2- Reconnaitre des triangles semblables.
a) Définition :
On appelle triangles semblables des triangles qui ont des angles deux à deux égaux.
Exemple :
Les triangles ABC et DEF sont semblables,
en effet :
Dans la pratique :
Pour montrer que deux triangles sont semblables, il suffit de s’assurer que deux couples d’angles sont égaux deux à deux. En effet, d’après la règle des 180°, le dernier couple d’angles le sera également.
b) Propriété Exemple :
Les triangles ABC et DEF sont semblables.
Les côtés du triangle
ABC sont proportionnels aux côtés du triangle DEF.
On fait correspondre deux à deux les côtés opposés à deux angles égaux.
Dans deux triangles semblables, les côtés opposés à des angles égaux sont appelés « côtés homologues ».
Côtés de DEF DF = 10,8 EF = 12,3 ED = 13,2
Côtés de ABC AB = 7,2 BC = 8,2 AC = 8,8
↑ Opposé à l’angle bleu ↑ Opposé à l’angle vert ↑ Opposé à l’angle rouge
On constate ainsi que :
10,8
7,2 = 12,3 8,2 = 13,2
8,8 = 1,5
Si deux triangles sont semblables alors les longueurs des côtés de l’un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l’autre.
Remarque : Le coefficient de proportionnalité est appelé le coefficient d’agrandissement ou de réduction. Dans l’exemple ci-dessus, on a 𝐹𝐷
𝐴𝐵= 𝐸𝐷
𝐴𝐶 = 𝐸𝐹
𝐵𝐶 = k
a. Si k < 1, alors EFD est une réduction du triangle ABC de rapport k.
b. Si k > 1, alors EFD est un agrandissement du triangle ABC de rapport k
Si les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles, alors ces triangles sont semblables.
Tâches intermédiaires : Faire les exercices 13, 14, 16, 17, 18 P 419 et indigo Réinvestissement 44 P 226 et 53 P 227 Myriade
24, 26 P 421 (DM) indigo
W demi-groupe P424 indigo exercice 33 scratch
