Chapitre n°4 : Dérivées (compléments) Objectifs :

(1)

Chapitre n°4 : Dérivées (compléments) Objectifs :

Niveau a eca n

C4.a ¹

Calculer la dérivée de [u(x)]^n

C4.b ¹

savoir dériver une fonction composée de racine carrée

C4.c ¹

Savoir dériver une fonction composée

C4.d ²

Savoir étudier les variations d'une fonction

trigonométrique

Activité d'approche n°1

On définit une famille de fonctions g

n

par g

n

(x)=[u(x]

ⁿ

, où u(x) est une fonction dérivable sur l'intervalle étudié, et n est un entier naturel positif.

1. Déterminer g'2

en fonction de u(x) et u'(x).

...

2. Déterminer g'3

en fonction de u(x) et u'(x).

...

3. Conjecturer g'n

.

...

4. Démontrer la conjecture.

...

(2)

2/13 -

...

4. Comment généraliser la formule pour n entier relatif ?

...

Cours n°1

Chapitre n°4 : Dérivées (compléments)

Remarques importantes :

1. Réviser les formules de dérivation ( Mathenpoche, livre...)→

2. Soit f une fonction dérivable, cf sa courbe représentative. Une équation de la tangente à cf

au point d'abscisse a est donnée par :

y=f '(a)x +  . (  vaut f(a) – af '(a))

3. Le taux d'accroissement est

f (a +h)− f ( a)

h et sa limite quand h tend

vers 0 est la dérivée de f en a.

I) Dérivée de ( u ( x ))

ⁿ

Propriété n°1

Soit n un nombre entier relatif et u(x) une fonction dérivable sur un intervalle I.

La fonction u

ⁿ

est dérivable et sa dérivée vaut …...

Démonstration: cf activité 1.

Exemple n°1 :

Dériver la fonction f définie par

f ( x)= ( ² ^x ^{x –}

²

^– ¹ ⁴ )

⁵

^.

...

2/13

(3)

...

Interrogation n°1 Objectifs

C4.a_Niv1 :Calculer la dérivée de [u(x)]^n

Exercice n°1 Ex.5 p.84 Exercice n°2

Ex.7 p.84

Activité d'approche n°2

Soit u(x) une fonction dérivable et positive sur un intervalle I. On définit la fonction f par f(x)= √ ^(u ⁽ ^x ⁾⁾ ^.

1. Exprimer le taux d'accroissement (h) de f en a.

...

2. En multipliant par la quantité adéquate, démontrer que :

(h) =

u ( a+h)− u (a )

h × 1

√ ^u ^(a ^+h)+ √ ^u ^(a ⁾

...

3. En déduire la dérivée de f.

...

(4)

4/13 -

Cours n°2

II) Dérivée de _√ u ( x )

Propriété n°2

Soit u(x) une fonction dérivable sur un intervalle I, ne s'annulant pas sur cet intervalle. La fonction √ ^(u ⁽ ^x ⁾⁾ est dérivable et sa dérivée vaut

…...

Démonstration: cf activité 2.

Remarque : en considérant que √ ⁽ ^u( ^x))

^{= (u(x))}^1/2

, on « retombe » sur la formule du cours n°1.

Exemple n°2 :

Dériver la fonction f définie par

f ( x)= √ ² ^x ^{x –}

²

^– ¹ ⁴ ^.

...

Interrogation n°2 Objectifs

C4.b_Niv1 :savoir dériver une fonction composée de racine carrée

Exercice n°3 Ex.3 p.84 Exercice n°4

Ex.4 p.84

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(5)

Cours n°3

III) Dérivée de f ( ax+b )

Propriété n°2

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction

g définie par g(x)=f(x+



) est dérivable et sa dérivée

vaut...

Démonstration :

Le taux d'accroissement de g en a est donné par :

...

Ce qui donne :

...

En posant T= 

a+

 et H= 

h :

...

D'où :

...

Exemple n°3 :

Dériver la fonction f définie par f ( x )=(2 x – 4)

²

−3( 2 x – 4) .

...

Propriété n°3 (admise)

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.Soit f une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I). La fonction

g définie par g(x)=f(

u

(x)) est dérivable

et sa dérivée vaut...

Exemple n°4 :

Dériver la fonction f

n

définie par f

n

(x) = 1

( √ ⁿ ⁾

ⁿ

^.

...

(6)

(7)

...

Interrogation n°3 Objectifs

C4.c_Niv1 :savoir dériver une fonction composée.

Exercice n°5*

Ex.53 p.86 Exercice n°6*

Ex.56 p.86

Activité d'approche n°3

Dérivabilité de sinus et de cosinus.

On travaille sur l'intervalle ]0 ; π 2 [ . a. Que peut-on dire de lim

x

→

⁰

sin x

x ?

…...

b. Exprimer IT en fonction de sinx et cosx .

...

…...

c. Ranger par ordre croissant les aires du secteur angu-

laire OIM, du triangle OTI et du triangle OIM.

...

…...

d. En déduire que

sin x  x  sin x

cos x , puis que cos x



sin x x 1.

...

e. En déduire

lim

x

→

0

sin x x

...

I x

J M

O Sin x

cos x

T

(8)

(9)

...

f. En déduire la dérivée de

sinus en 0 .

...

g. Démontrer que

cos h – 1

h = sin h

h × − sin h cos h+ 1 ^.

...

h. En déduire la dérivée de

cosinus en 0

.

...

i. Démontrer que

sin (a + h)− sin a

h =sin a× cos h− 1

h + cos a× sin h

... h ...

...

k. En déduire la dérivée de

sinus en tout point.

...

...…

On déterminerait ensuite de façon similaire la dérivée de

cosinus

(en utilisant

cos x = sin (x + π

2

^{) et}

cos (x + π

2 ) = – sin (x

).)

Cours n°4

IV) Dérivées de sinus et cosinus Remarque :

Revoir les formules d'addition, de duplication, et autres relations trigonométriques de première, ainsi que les valeurs particulières.

Propriété n°4

(sin x)'=... et (cos x)'= …...

(10)

8/13 -

Démonstration : cf activité d'approche n°3 Propriété n°5

lim

x

→

⁰

sin x

x =... et lim

x

→

⁰

cos x− 1

x =...

Démonstration : cf activité d'approche n°3 Propriété n°6

La fonction sinus est impaire : sin (-x) = …...

La fonction sinus est périodique de période 2 : sin (x+ 2) = …...

La fonction cosinus est paire : cos (-x) = …...

La fonction cosinus est périodique de période 2 : cos (x+ 2) =…...

Exemple n°4

Étudions les variations de la fonction f(x)=2 – cos(2x) :

1. La fonction est-elle paire ? Impaire ? Justifier.

...

2. Calculer f(x+) en fonction de f(x). Que peut-on en déduire ?

...

3. Calculer la dérivée de f et étudier son signe. En déduire le tableau de

variation de f sur [0;2].

...

8/13

(11)

...

Interrogation n°4 Objectifs

C4.d_Niv2 :Savoir étudier les variations d'une fonction trigonométrique

Exercice n°7 Ex.68 p.87 Exercice n°8

Ex.87 p.88 Exercice n°9**

Ex.107 p.89 Exercice n°10**

Sujet A p.97 Exercice n°11***

Sujet D p.98 Exercice n°12***

Ex.143 p.99

(12)

(13)

Résultats ou indices

Exercice n°1 -Ex.5 p.84- f ' (x)=2(x+1) et g' (x)=3(x+1)²

Exercice n°2 -Ex.7 p.84- f ' (x)=6(2x+1)² et g' (x)=4(2x+1)(x²+x)³ Exercice n°3 -Ex.3 p.84- f ' (x)= 1

√

²^x+1 et g' (x)= 3 2

√

³^x⁺⁵

Exercice n°4 -Ex.4 p.84- f ' (x)= x

√

^x²⁺¹ et g' (x)= 3x

√

³^x²⁺¹

Exercice n°5* -Ex.53 p.86- 1.f '(x)= 2v'(x)(2x–

1)

^, g'(x)= – 3v'(x)(–3x), et h'(x)= –v'(x)(5 – x). 2. f'(x)=

1

2x²–2x+1 , g' (x)= −3

(−3x)²+1et h' (x)= −1 (5– x)²+1

Exercice n°6* -Ex.56 p.86- 1. f ' (–1) = 9 et f ' (1)= – 3. 2. g' (–1)=3,

g' (1)=9, h' (0,5)= – 6, k' (1)=9.

Exercice n°7 -Ex.68 p.87- f ' (x)= –2cos x + 2xsin x et g' (x)= 2xsin x + x²cos x.

Exercice n°8 -Ex.87 p.88-

lim

x

→

+∞

f ( x)=−∞ lim

x

→

−∞

f (x )=+∞

Exercice n°9** -Ex.107 p.89- 1.a. f(-x)=f(x) et f(x + )=f(x). 1.b. cf est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et on peut

compléter la courbe par translation de vecteur k ⃗i 2.f ' (x)=

2sin x cos x 3. Sur [0 ; π

2 ], f ' (x)0. 4.

Exercice n°10**

-Sujet A

p.97- 1. x ∈ [0;1[ 2. A(x)=(2+2x)

√

¹⁻^x²

2 et V(x)=2(1+x)

√

¹⁻^x²^3.^{V '}⁽^x)=2×¹⁻

√

¹⁻^x−²^x²^x²^{4. x=0,5.}

Exercice n°11*** -Sujet D p.98- 1.a.

1.b. f ' (x)= 1

2 – cos x.

1.c. 1,89<x0<1,90

2.a. T=sin  cos . 2.b. S =  – sin  cos . 2.c. =x0. Exercice n°12*** -Ex.143 p.99- 1.a. '(t) = 2π

T

0 cos( 2π

T t + ). 1.b. = π

2 2.a.(t) = π

36 sin(t +π 2 ) 2.b.  a pour période 2. 2.c. Si t ∈ [0;1], '(t)0, si t ∈ [1;2], '(t)0. 2.d.

(14)

11/13 -

3. 4.a. (0,5)

≈0 : équilibre, 4.b.

(1) ≈ –0,09 rad : -5° de sa position d'équilibre.

4.c.(1,5)

≈0 : équilibre, 4.d. (2) ≈ 0,09 rad : 5°

de sa position d'équilibre. . . 4 e (3) ≈ -0,09 rad : -5° de sa position d'équilibre.

11/13

(15)

(16)

13/13 -

13/13

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :