1/60 - Chap.
Chapitre n°4 : Dérivées (compléments)
Objectifs :
Niveau a eca n
C4.a 1 Calculer la dérivée de [u]^n
C4.b 1 savoir dériver une fonction composée de racine carrée
C4.c 1 Savoir dériver une fonction composée
C4.d 2 Savoir étudier les variations d'une fonction
trigonométrique
Activité d'approche n°1 : Dérivée de u puissance n
On définit une famille de fonctions g
npar g
n(x)=[u(x)]
n, où u est une fonction dérivable sur l'intervalle étudié, et n est un entier naturel positif.
1. Déterminer g'
2en fonction de u et u' .
...
...
...
...
...
...
2. Déterminer g'
3en fonction de u et u' .
...
...
...
...
...
...
3. Conjecturer g'
n.
...
...
...
4. Démontrer la conjecture.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
5. Comment généraliser la formule pour n entier relatif ?
...
...
...
1/60
2/60 - Chap.
...
...
...
Cours n°1 : Dérivée de u puissance n Rappel (Propriété n°0) :
1. Réviser les formules de dérivation ( Mathenpoche, livre...) →
2. Soit f une fonction dérivable, c
fsa courbe représentative. Une équation de la tangente à c
fau point d'abscisse a est donnée par :
y= ... . ( vaut .…...……...….)
3. Le taux d'accroissement est ... …... …... …. ….... …
... et sa limite quand h
tend vers 0 est la ...…... de f en a . I) Dérivée de ( u ( x ) )
nPropriété n°1
Soit n un nombre entier relatif et u(x) une fonction dérivable sur un intervalle I . La fonction u
nest dérivable sur I et sa dérivée vaut …...
Démonstration: cf activité 1.
Exemple n°1 :
Dériver la fonction f définie par ( 2 x
2x −1 −4 )
5...
...
...
...
...
...
2/60
3/60 - Chap.
Se tester C4.1 (sur 3) Objectifs :
Niveau a eca n
C4.a 1 Calculer la dérivée de [u(x)]^n
Ex.1 [d:1,f:1,r:1]
Dériver la fonction f définie par f(x) = ( 2 x x –
2– 2 6 )
3.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
3/60
4/60 - Chap.
Résultats Ex.1 : f ’(x) = −2 x
2+ 12 x− 4
( x
2−2 ) ² ( g ( x ) )
2
.
Interrogation n°1 Objectifs
C4.a_Niv1 :Calculer la dérivée de [u(x)]^n Exercice n°1
Ex.5 p.84 Exercice n°2
Ex.7 p.84
Activité d'approche n°2 : Dérivée de racine carrée de u Soit u(x) une fonction dérivable et positive sur un intervalle I. On définit la fonction f par f(x)= √ u ( x ).
1. Exprimer le taux d'accroissement (h) de f en a .
...
...
...
...
...
...
2. En multipliant par la quantité adéquate, démontrer que :
(h) = u ( a + h )− u ( a )
h × 1
√ u ( a+ h)+ √ u (a )
...
...
...
3. En déduire la dérivée de f.
...
...
...
...
...
...
Cours n°2 : Dérivée de racine carrée de u II) Dérivée de √ u
Propriété n°2
Soit u(x) une fonction dérivable sur un intervalle I, ne s'annulant pas sur cet intervalle. La fonction √ u est dérivable et sa dérivée vaut
…...
…...
…...
4/60
5/60 - Chap.
Démonstration: cf activité 2.
Remarque : en considérant que √ u ( x ) = (u(x))
1/2, on « retombe » sur la formule du cours n°1.
Exemple n°2 :
Dériver la fonction f définie par √ 2 x x−4
2−1 .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
5/60
6/60 - Chap.
Se tester C4.2 (sur 3) Objectifs :
Niveau a eca n
C4.b 1 savoir dériver une fonction composée de racine carrée
Ex.1
(der:1, for:1, res:1)Dériver la fonction f définie par f(x) = √ 7 x x –
2– 5 1
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
6/60
7/60 - Chap.
Résultats Ex.1 : f ‘(x)= ( − 7 x
2+ 2 x − 35 ) √ x
2− 5
2 ( x
2− 5 ) ² √ 7 x−1 .
Interrogation n°2 Objectifs
C4.b_Niv1 :savoir dériver une fonction composée de racine carrée Exercice n°3
Ex.3 p.84 Exercice n°4
Ex.4 p.84
Cours n°3 : Dérivée de la fonction d’une fonction affine III) Dérivée de x → f ( ax+b )
Propriété n°2
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I . La fonction g définie par g(x)=f( x+ )
est dérivable et sa dérivée vaut...
Démonstration :
Le taux d'accroissement de g en a est donné par :
...
...
...
Ce qui donne :
...
...
...
En posant T= a+ et H= h :
...
...
...
D'où :
...
...
...
Exemple n°3 :
Dériver la fonction f définie par f(x)=(2x – 4)² – 3(2x – 4) .
...
...
...
7/60
8/60 - Chap.
...
...
...
...
...
...
Propriété n°3 (admise)
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I . Soit f une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I) . La fonction g définie par g(x)=f(u(x)) est dérivable sur I et sa dérivée vaut...
Exemple n°4 :
Dériver la fonction f
ndéfinie par f
n(x) = 1 ( √ x )
n.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
8/60
9/60 - Chap.
Se tester C4.3 (sur 6) Objectifs :
Niveau a eca n
C4.c 1 Savoir dériver une fonction composée
Ex.1
1. [/4] On sait que h est une fonction. Soit la fonction f définie par :
f(x) = [h(x)]
5– 6h(x)
Dériver f en fonction de h et h' (sans se servir de la question suivante) :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
2. [/2] On sait maintenant que h est la fonction définie par h(x)=7x – 5 . Appliquer le résultat précédent pour déterminer la dérivée de f .
...
...
...
...
...
...
...
...
9/60
10/60 - Chap.
Résultats 1. f ’ (x) = 5 × h’(x) × [h(x)]
4– 6× h’(x) .
2. f ’ (x) = 35 × (7x – 5)
4– 42 .
Interrogation n°3 Objectifs
C4.c_Niv1 :savoir dériver une fonction composée.
Exercice n°5*
Ex.53 p.86
Activité d'approche n°3 : Dérivée de Sinus et Cosinus Dérivabilité de sinus et de cosinus.
On travaille sur l'intervalle ]0 ; π 2 [ . a. Que peut-on dire de lim
x→0
sinx x ?
…...
b. Exprimer IT en fonction de sinx et cosx .
...
…...
c. Ranger par ordre croissant les aires du secteur angu- laire OIM , du triangle OTI et du triangle OIM .
...
…...
d. En déduire que sin x x sin cos x x , puis que cos x sin x x 1.
...
...
...
...
...
...
...
e. En déduire lim
x→0
sinx x .
...
...
...
f. En déduire la dérivée de sinus en 0 .
...
...
...
g. Démontrer que ( cos h ) – 1 h = sin h
h × − sin h
( cos h ) + 1 .
...
...
...
...
10/60
I x
J M
O Sin x
cos x
T
11/60 - Chap.
...
...
h. En déduire la dérivée de cosinus en 0 .
...
...
...
i. Démontrer que sin ( a + h )− sin a
h = sin a × ( cos h )− 1
h +cos a × sin h
h ...
...
...
k. En déduire la dérivée de sinus en tout point.
...
...
...
...
...
...
On déterminerait ensuite de façon similaire la dérivée de cosinus (en utilisant cos x = sin (x + π 2 ) et cos (x + π
2 ) = – sin (x ). )
Cours n°4 : Dérivée de Sinus et Cosinus IV) Dérivées de sinus et cosinus
Remarque :
Revoir les formules d'addition, de duplication, et autres relations trigonométriques de première, ainsi que les valeurs particulières.
Rappel :
f est une fonction paire si f (……) = f (……) f est une fonction impaire si f (……) = f (……)
f est une fonction périodique de période T si f (………...) = f (……) Propriété n°4
(sin x)'=... et (cos x)'= …...
Démonstration : cf activité d'approche n°3 Propriété n°5
lim
x→0
sin x
x =... et lim
x→0
( cos x ) − 1 x =...
Démonstration : cf activité d'approche n°3 Propriété n°6
11/60
12/60 - Chap.
La fonction sinus est impaire : sin (-x) = …...
La fonction sinus est périodique de période 2 : sin (x+ 2 ) = …...
La fonction cosinus est paire : cos (-x) = …...
La fonction cosinus est périodique de période 2 : cos (x+ 2 ) =…...…
Propriété n°7
La fonction f définie par f(x) = sin (ax + b) est périodique de période …….
… La fonction f définie par f(x) = cos (ax + b) est périodique de période …….
…
Démonstration
...
...
...
...
...
Exemple n°4
1. Soit g la fonction définie par g(x) = cos ( 2 x )
2 x . g est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .
...
...
...
...
...
...
...
...
12/60
13/60 - Chap.
2. Soit f la fonction définie par f(x) = sin (3 x )
3 x . f est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .
...
...
...
...
...
...
...
...
3. Soit h la fonction définie par h(x) =cos (4x) + 4x . h est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°5
1. Soit f la fonction définie par f(x)=cos(2x). Quelle est sa périodicité ? ...
...
...
2. f est-elle paire ? Impaire ? Justifier .
...
...
...
...
3. Déduire des deux réponses précédentes sur quel intervalle il suffit d'étudier f .
...
...
...
...
4. Calculer la dérivée de f et étudier son signe.
...
...
...
...
...
...
...
...
5.Déduire des questions précédentes le tableau de variation de f sur [- ; ].
...
13/60
14/60 - Chap.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester C4.4 (sur 10) Objectifs :
Niveau a eca n
C4.d 2 Savoir étudier les variations d'une fonction
trigonométrique Exercice n°1 [/3]
1. [1] Soit g la fonction définie par g ( x )= cos ( 4 x )
4 x . g est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ?
Justifier . ...
...
...
2. [1] Soit f la fonction définie par f ( x )= sin (3 x )
4 x . f est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ?
Justifier . ...
...
...
3. [1] Soit h la fonction définie par h ( x )= sin ( 4 x )+ 2 x . h est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ?
Justifier . ...
...
...
Exercice n°2 [/7]
1 [1] . Soit f la fonction définie par f(x)=cos(4x). Quelle est sa périodicité ?
...
...
...
2 [1] . f est-elle paire ? Impaire ? Justifier .
...
...
...
...…
3 [1] . Déduire des deux réponses précédentes sur quel intervalle il suffit
14/60
15/60 - Chap.
d'étudier f .
...
...…
4 [2] . Calculer la dérivée de f sur cet intervalle et étudier son signe.
...
...
...
...
...
...
...
...…
5 [2] .Déduire des questions précédentes le tableau de variation de f sur [-;].
...
... ...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
15/60
16/60 - Chap.
Résultats Ex.1 : Dans le désordre : paire ; impaire ; impaire.
Ex.2 : 1. 1
2 π 2. paire 3. [0; 1
2 π] 4. f ’(x)=-4sin(4x) . - entre 0 et π
4 , + entre π 4 et 2 π
4 ...
Interrogation n°4 Objectifs
C4.d_Niv2 :Savoir étudier les variations d'une fonction trigonométrique Exercice n°6
Ex.68 p.87 Exercice n°7
Ex.87 p.88 Exercice n°8**
Ex.107 p.89 Exercice n°9**
Sujet A p.97 Exercice n°10***
Sujet D p.98 Exercice n°11***
Ex.143 p.99
16/60
17/60 - Chap.
17/60
18/60 - Chap.
Résultats ou indices
Exercice n°1 -Ex.5 p.84- f ' (x)=2(x+1) et g' (x)=3(x+1)
2Exercice n°2 -Ex.7 p.84- f ' (x)=6(2x+1)
2et g' (x)=4(2x+1)(x
2+x)
3Exercice n°3 -Ex.3 p.84- f ' (x)= 1
√ 2 x + 1 et g' (x)=
3 x
√ 3 x
2+1
Exercice n°4 -Ex.4 p.84- f ' (x)= x
√ x
2+ 1 et g' (x)= √ 3 3 x x
2+ 1
Exercice n°5* -Ex.53 p.86- 1. f '(x)= 2v'(x)(2x–1) , g'(x)= – 3v'(x)(–3x) , et h'(x)= –v'(x)(5 – x). 2. f'(x)= 1
2 x
2− 2 x + 1 , g' (x)= − 3
(−3 x )
2+1 et h' (x)= − 1
(5−x )
2+1
Exercice n°6 -Ex.68 p.87- f ' (x)= –2cos x + 2xsin x et g' (x)= 2xsin x + x
2cos x.
Exercice n°7 -Ex.87 p.88- lim
x→ +∞
f ( x )=− ∞ lim
x→ −∞
f ( x )= + ∞
Exercice n°8** -Ex.107 p.89- 1.a. f(-x)=f(x) et f(x + )=f(x). 1.b. c
fest symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et on peut compléter la courbe par translation de vecteur k2.f ' (x)=2sin x cos x 3. Sur [0 ; ], f ' (x)0. 4.
Exercice n°9** -Sujet A p.97- 1. x ∈ [0;1[ 2. A(x) = (2 +2 x ) √ 1−x ²
2 et V(x)=2(1+x) √ 1+ x
23.
V’(x)=2 × 1− x −2 x ²
√ 1− x
24. x=0,5.
Exercice n°10*** -Sujet D p.98- 1.a.
1.b. f ' (x)= – cos x .
1.c. 1,89<x
0<1,90
2.a. T=sin cos . 2.b. S = – sin cos . 2.c.
=x
0.
18/60
19/60 - Chap.
Exercice n°12*** -Ex.143 p.99- 1.a. '(t) = 2 π T
0cos( 2 π
T t + ). 1.b. =2.a. (t) = π
36 sin( t + π
2 ) 2.b. a pour période 2. 2.c. Si t ∈ [0;1], '(t) 0, si t ∈ [1;2],
'(t) 0. 2.d.
3.
4.a. (0,5) ≈0 :
équilibre, 4.b.
(1) ≈ –0,09 rad : -5° de sa position d'équilibre.
4.c. (1,5) ≈0 :
équilibre, 4.d.
(2) ≈ 0,09 rad : 5° de sa
position d'équilibre. 4. . e (3) ≈ -0,09 rad : -5° de sa position d'équilibre.
19/60
20/60 - Chap.
20/60
21/60 - Chap.
Chapitre n°4 : Dérivées (compléments)
Objectifs :
Niveau a eca n
C4.a 1 Calculer la dérivée de [u]^n
C4.b 1 savoir dériver une fonction composée de racine carrée
C4.c 1 Savoir dériver une fonction composée
C4.d 2 Savoir étudier les variations d'une fonction
trigonométrique
Activité d'approche n°1 : Dérivée de u puissance n
On définit une famille de fonctions g
npar g
n(x)=[u(x)]
n, où u est une fonction dérivable sur l'intervalle étudié, et n est un entier naturel positif.
1. Déterminer g'
2en fonction de u et u' .
...
...
...
...
...
...
2. Déterminer g'
3en fonction de u et u' .
...
...
...
...
...
...
3. Conjecturer g'
n.
...
...
...
4. Démontrer la conjecture.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
5. Comment généraliser la formule pour n entier relatif ?
...
...
...
21/60
22/60 - Chap.
...
...
...
Cours n°1 : Dérivée de u puissance n Rappel (Propriété n°0) :
1. Réviser les formules de dérivation ( Mathenpoche, livre...) →
2. Soit f une fonction dérivable, c
fsa courbe représentative. Une équation de la tangente à c
fau point d'abscisse a est donnée par :
y= ... . ( vaut .…...……...….)
3. Le taux d'accroissement est ... …... …... …. ….... …
... et sa limite quand h
tend vers 0 est la ...…... de f en a . I) Dérivée de ( u ( x ) )
nPropriété n°1
Soit n un nombre entier relatif et u(x) une fonction dérivable sur un intervalle I . La fonction u
nest dérivable sur I et sa dérivée vaut …...
Démonstration: cf activité 1.
Exemple n°1 :
Dériver la fonction f définie par ( 2 x
2x −1 −4 )
5...
...
...
...
...
...
22/60
23/60 - Chap.
Se tester C4.1 (sur 3) Objectifs :
Niveau a eca n
C4.a 1 Calculer la dérivée de [u(x)]^n
Ex.1 [d:1,f:1,r:1]
Dériver la fonction f définie par f(x) = ( 2 x x –
2– 6 4 )
5.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
23/60
24/60 - Chap.
Résultats Ex.1 : f ’(x) = −2 x
2+ 8 x − 12
( x
2−6 ) ² ( g ( x ) )
4
.
Interrogation n°1 Objectifs
C4.a_Niv1 :Calculer la dérivée de [u(x)]^n Exercice n°1
Ex.5 p.84 Exercice n°2
Ex.7 p.84
Activité d'approche n°2 : Dérivée de racine carrée de u Soit u(x) une fonction dérivable et positive sur un intervalle I. On définit la fonction f par f(x)= √ u ( x ).
1. Exprimer le taux d'accroissement (h) de f en a .
...
...
...
...
...
...
2. En multipliant par la quantité adéquate, démontrer que :
(h) = u ( a + h )− u ( a )
h × 1
√ u ( a+ h)+ √ u (a )
...
...
...
3. En déduire la dérivée de f.
...
...
...
...
...
...
Cours n°2 : Dérivée de racine carrée de u II) Dérivée de √ u
Propriété n°2
Soit u(x) une fonction dérivable sur un intervalle I, ne s'annulant pas sur cet intervalle. La fonction √ u est dérivable et sa dérivée vaut
…...
…...
…...
24/60
25/60 - Chap.
Démonstration: cf activité 2.
Remarque : en considérant que √ u ( x ) = (u(x))
1/2, on « retombe » sur la formule du cours n°1.
Exemple n°2 :
Dériver la fonction f définie par √ 2 x x−4
2−1 .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
25/60
26/60 - Chap.
Se tester C4.2 (sur 3) Objectifs :
Niveau a eca n
C4.b 1 savoir dériver une fonction composée de racine carrée
Ex.1
(der:1, for:1, res:1)Dériver la fonction f définie par f(x) = √ x x –
2– 7 9
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
26/60
27/60 - Chap.
Résultats Ex.1 : f ‘(x)= ( − x
2+ 14 x − 9 ) √ x
2− 9
2 ( x
2− 9 ) ² √ x −7 .
Interrogation n°2 Objectifs
C4.b_Niv1 :savoir dériver une fonction composée de racine carrée Exercice n°3
Ex.3 p.84 Exercice n°4
Ex.4 p.84
Cours n°3 : Dérivée de la fonction d’une fonction affine III) Dérivée de x → f ( ax+b )
Propriété n°2
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I . La fonction g définie par g(x)=f( x+ )
est dérivable et sa dérivée vaut...
Démonstration :
Le taux d'accroissement de g en a est donné par :
...
...
...
Ce qui donne :
...
...
...
En posant T= a+ et H= h :
...
...
...
D'où :
...
...
...
Exemple n°3 :
Dériver la fonction f définie par f(x)=(2x – 4)² – 3(2x – 4) .
...
...
...
27/60
28/60 - Chap.
...
...
...
...
...
...
Propriété n°3 (admise)
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I . Soit f une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I) . La fonction g définie par g(x)=f(u(x)) est dérivable sur I et sa dérivée vaut...
Exemple n°4 :
Dériver la fonction f
ndéfinie par f
n(x) = 1 ( √ x )
n.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
28/60
29/60 - Chap.
Se tester C4.3 (sur 6) Objectifs :
Niveau a eca n
C4.c 1 Savoir dériver une fonction composée
Ex.1
1. [/4] On sait que h est une fonction. Soit la fonction f définie par :
f(x) = [h(x)]
8– 7h(x)
Dériver f en fonction de h et h' (sans se servir de la question suivante) :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
2. [/2] On sait maintenant que h est la fonction définie par h(x)=8x – 6 . Appliquer le résultat précédent pour déterminer la dérivée de f .
...
...
...
...
...
...
...
...
29/60
30/60 - Chap.
Résultats 1. f ’ (x) = 8 × h’(x) × [h(x)]
7– 7× h’(x) .
2. f ’ (x) = 64 × (8x – 6)
7– 56 .
Interrogation n°3 Objectifs
C4.c_Niv1 :savoir dériver une fonction composée.
Exercice n°5*
Ex.53 p.86
Activité d'approche n°3 : Dérivée de Sinus et Cosinus Dérivabilité de sinus et de cosinus.
On travaille sur l'intervalle ]0 ; π 2 [ . a. Que peut-on dire de lim
x→0
sinx x ?
…...
b. Exprimer IT en fonction de sinx et cosx .
...
…...
c. Ranger par ordre croissant les aires du secteur angu- laire OIM , du triangle OTI et du triangle OIM .
...
…...
d. En déduire que sin x x sin cos x x , puis que cos x sin x x 1.
...
...
...
...
...
...
...
e. En déduire lim
x→0
sinx x .
...
...
...
f. En déduire la dérivée de sinus en 0 .
...
...
...
g. Démontrer que ( cos h ) – 1 h = sin h
h × − sin h
( cos h ) + 1 .
...
...
...
...
30/60
I x
J M
O Sin x
cos x
T
31/60 - Chap.
...
...
h. En déduire la dérivée de cosinus en 0 .
...
...
...
i. Démontrer que sin ( a + h )− sin a
h = sin a × ( cos h )− 1
h +cos a × sin h
h ...
...
...
k. En déduire la dérivée de sinus en tout point.
...
...
...
...
...
...
On déterminerait ensuite de façon similaire la dérivée de cosinus (en utilisant cos x = sin (x + π 2 ) et cos (x + π
2 ) = – sin (x ). )
Cours n°4 : Dérivée de Sinus et Cosinus IV) Dérivées de sinus et cosinus
Remarque :
Revoir les formules d'addition, de duplication, et autres relations trigonométriques de première, ainsi que les valeurs particulières.
Rappel :
f est une fonction paire si f (……) = f (……) f est une fonction impaire si f (……) = f (……)
f est une fonction périodique de période T si f (………...) = f (……) Propriété n°4
(sin x)'=... et (cos x)'= …...
Démonstration : cf activité d'approche n°3 Propriété n°5
lim
x→0
sin x
x =... et lim
x→0
( cos x ) − 1 x =...
Démonstration : cf activité d'approche n°3 Propriété n°6
31/60
32/60 - Chap.
La fonction sinus est impaire : sin (-x) = …...
La fonction sinus est périodique de période 2 : sin (x+ 2 ) = …...
La fonction cosinus est paire : cos (-x) = …...
La fonction cosinus est périodique de période 2 : cos (x+ 2 ) =…...…
Propriété n°7
La fonction f définie par f(x) = sin (ax + b) est périodique de période …….
… La fonction f définie par f(x) = cos (ax + b) est périodique de période …….
…
Démonstration
...
...
...
...
...
Exemple n°4
1. Soit g la fonction définie par g(x) = cos ( 2 x )
2 x . g est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .
...
...
...
...
...
...
...
...
32/60
33/60 - Chap.
2. Soit f la fonction définie par f(x) = sin (3 x )
3 x . f est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .
...
...
...
...
...
...
...
...
3. Soit h la fonction définie par h(x) =cos (4x) + 4x . h est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°5
1. Soit f la fonction définie par f(x)=cos(2x). Quelle est sa périodicité ? ...
...
...
2. f est-elle paire ? Impaire ? Justifier .
...
...
...
...
3. Déduire des deux réponses précédentes sur quel intervalle il suffit d'étudier f .
...
...
...
...
4. Calculer la dérivée de f et étudier son signe.
...
...
...
...
...
...
...
...
5.Déduire des questions précédentes le tableau de variation de f sur [- ; ].
...
33/60
34/60 - Chap.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester C4.4 (sur 10) Objectifs :
Niveau a eca n
C4.d 2 Savoir étudier les variations d'une fonction
trigonométrique Exercice n°1 [/3]
1. [1] Soit g la fonction définie par g ( x )= cos ( 3 x )
2 x . g est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ?
Justifier . ...
...
...
2. [1] Soit f la fonction définie par f ( x )= sin (3 x )
3 x . f est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ?
Justifier . ...
...
...
3. [1] Soit h la fonction définie par h ( x )= cos ( 2 x )+ 3 x. h est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ?
Justifier . ...
...
...
Exercice n°2 [/7]
1 [1] . Soit f la fonction définie par f(x)=sin(4x). Quelle est sa périodicité ?
...
...
...
2 [1] . f est-elle paire ? Impaire ? Justifier .
...
...
...
...…
3 [1] . Déduire des deux réponses précédentes sur quel intervalle il suffit
34/60
35/60 - Chap.
d'étudier f .
...
...…
4 [2] . Calculer la dérivée de f sur cet intervalle et étudier son signe.
...
...
...
...
...
...
...
...…
5 [2] .Déduire des questions précédentes le tableau de variation de f sur [-;].
...
... ...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
35/60
36/60 - Chap.
Résultats
Ex.1 : Dans le désordre : paire ; impaire ; ni paire ni impaire.
Ex.2 : 1. 1
2 π 2. impaire 3. [0; 1
2 π] 4. f ’(x)=4cos(4x) . + entre 0 et π
8 , - entre π 8 et π
4 ...
Interrogation n°4 Objectifs
C4.d_Niv2 :Savoir étudier les variations d'une fonction trigonométrique Exercice n°6
Ex.68 p.87 Exercice n°7
Ex.87 p.88 Exercice n°8**
Ex.107 p.89 Exercice n°9**
Sujet A p.97 Exercice n°10***
Sujet D p.98 Exercice n°11***
Ex.143 p.99
36/60
37/60 - Chap.
37/60
38/60 - Chap.
Résultats ou indices
Exercice n°1 -Ex.5 p.84- f ' (x)=2(x+1) et g' (x)=3(x+1)
2Exercice n°2 -Ex.7 p.84- f ' (x)=6(2x+1)
2et g' (x)=4(2x+1)(x
2+x)
3Exercice n°3 -Ex.3 p.84- f ' (x)= 1
√ 2 x + 1 et g' (x)=
3 x
√ 3 x
2+1
Exercice n°4 -Ex.4 p.84- f ' (x)= x
√ x
2+ 1 et g' (x)= √ 3 3 x x
2+ 1
Exercice n°5* -Ex.53 p.86- 1. f '(x)= 2v'(x)(2x–1) , g'(x)= – 3v'(x)(–3x) , et h'(x)= –v'(x)(5 – x). 2. f'(x)= 1
2 x
2− 2 x + 1 , g' (x)= − 3
(−3 x )
2+1 et h' (x)= − 1
(5−x )
2+1
Exercice n°6 -Ex.68 p.87- f ' (x)= –2cos x + 2xsin x et g' (x)= 2xsin x + x
2cos x.
Exercice n°7 -Ex.87 p.88- lim
x→ +∞
f ( x )=− ∞ lim
x→ −∞
f ( x )= + ∞
Exercice n°8** -Ex.107 p.89- 1.a. f(-x)=f(x) et f(x + )=f(x). 1.b. c
fest symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et on peut compléter la courbe par translation de vecteur k2.f ' (x)=2sin x cos x 3. Sur [0 ; ], f ' (x)0. 4.
Exercice n°9** -Sujet A p.97- 1. x ∈ [0;1[ 2. A(x) = (2 +2 x ) √ 1−x ²
2 et V(x)=2(1+x) √ 1+ x
23.
V’(x)=2 × 1− x −2 x ²
√ 1− x
24. x=0,5.
Exercice n°10*** -Sujet D p.98- 1.a.
1.b. f ' (x)= – cos x .
1.c. 1,89<x
0<1,90
2.a. T=sin cos . 2.b. S = – sin cos . 2.c.
=x
0.
38/60
39/60 - Chap.
Exercice n°12*** -Ex.143 p.99- 1.a. '(t) = 2 π T
0cos( 2 π
T t + ). 1.b. =2.a. (t) = π
36 sin( t + π
2 ) 2.b. a pour période 2. 2.c. Si t ∈ [0;1], '(t) 0, si t ∈ [1;2],
'(t) 0. 2.d.
3.
4.a. (0,5) ≈0 :
équilibre, 4.b.
(1) ≈ –0,09 rad : -5° de sa position d'équilibre.
4.c. (1,5) ≈0 :
équilibre, 4.d.
(2) ≈ 0,09 rad : 5° de sa
position d'équilibre. 4. . e (3) ≈ -0,09 rad : -5° de sa position d'équilibre.
39/60
40/60 - Chap.
40/60
41/60 - Chap.
Chapitre n°4 : Dérivées (compléments)
Objectifs :
Niveau a eca n
C4.a 1 Calculer la dérivée de [u]^n
C4.b 1 savoir dériver une fonction composée de racine carrée
C4.c 1 Savoir dériver une fonction composée
C4.d 2 Savoir étudier les variations d'une fonction
trigonométrique
Activité d'approche n°1 : Dérivée de u puissance n
On définit une famille de fonctions g
npar g
n(x)=[u(x)]
n, où u est une fonction dérivable sur l'intervalle étudié, et n est un entier naturel positif.
1. Déterminer g'
2en fonction de u et u' .
...
...
...
...
...
...
2. Déterminer g'
3en fonction de u et u' .
...
...
...
...
...
...
3. Conjecturer g'
n.
...
...
...
4. Démontrer la conjecture.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
5. Comment généraliser la formule pour n entier relatif ?
...
...
...
41/60
42/60 - Chap.
...
...
...
Cours n°1 : Dérivée de u puissance n Rappel (Propriété n°0) :
1. Réviser les formules de dérivation ( Mathenpoche, livre...) →
2. Soit f une fonction dérivable, c
fsa courbe représentative. Une équation de la tangente à c
fau point d'abscisse a est donnée par :
y= ... . ( vaut .…...……...….)
3. Le taux d'accroissement est ... …... …... …. ….... …
... et sa limite quand h
tend vers 0 est la ...…... de f en a . I) Dérivée de ( u ( x ) )
nPropriété n°1
Soit n un nombre entier relatif et u(x) une fonction dérivable sur un intervalle I . La fonction u
nest dérivable sur I et sa dérivée vaut …...
Démonstration: cf activité 1.
Exemple n°1 :
Dériver la fonction f définie par ( 2 x
2x −1 −4 )
5...
...
...
...
...
...
42/60
43/60 - Chap.
Se tester C4.1 (sur 3) Objectifs :
Niveau a eca n
C4.a 1 Calculer la dérivée de [u(x)]^n
Ex.1 [d:1,f:1,r:1]
Dériver la fonction f définie par f(x) = ( 3 x x –
2– 9 8 )
3.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
43/60
44/60 - Chap.
Résultats Ex.1 : f ’(x) = −3 x
2+ 16 x − 27
( x
2−9 ) ² ( g ( x ) )
2
.
Interrogation n°1 Objectifs
C4.a_Niv1 :Calculer la dérivée de [u(x)]^n Exercice n°1
Ex.5 p.84 Exercice n°2
Ex.7 p.84
Activité d'approche n°2 : Dérivée de racine carrée de u Soit u(x) une fonction dérivable et positive sur un intervalle I. On définit la fonction f par f(x)= √ u ( x ).
1. Exprimer le taux d'accroissement (h) de f en a .
...
...
...
...
...
...
2. En multipliant par la quantité adéquate, démontrer que :
(h) = u ( a + h )− u ( a )
h × 1
√ u ( a+ h)+ √ u (a )
...
...
...
3. En déduire la dérivée de f.
...
...
...
...
...
...
Cours n°2 : Dérivée de racine carrée de u II) Dérivée de √ u
Propriété n°2
Soit u(x) une fonction dérivable sur un intervalle I, ne s'annulant pas sur cet intervalle. La fonction √ u est dérivable et sa dérivée vaut
…...
…...
…...
44/60
45/60 - Chap.
Démonstration: cf activité 2.
Remarque : en considérant que √ u ( x ) = (u(x))
1/2, on « retombe » sur la formule du cours n°1.
Exemple n°2 :
Dériver la fonction f définie par √ 2 x x−4
2−1 .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
45/60
46/60 - Chap.
Se tester C4.2 (sur 3) Objectifs :
Niveau a eca n
C4.b 1 savoir dériver une fonction composée de racine carrée
Ex.1
(der:1, for:1, res:1)Dériver la fonction f définie par f(x) = √ 2 x x –
2– 9 1
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
46/60
47/60 - Chap.
Résultats Ex.1 : f ‘(x)= ( − 2 x
2+ 2 x − 18 ) √ x
2− 9
2 ( x
2− 9 ) ² √ 2 x−1 .
Interrogation n°2 Objectifs
C4.b_Niv1 :savoir dériver une fonction composée de racine carrée Exercice n°3
Ex.3 p.84 Exercice n°4
Ex.4 p.84
Cours n°3 : Dérivée de la fonction d’une fonction affine III) Dérivée de x → f ( ax+b )
Propriété n°2
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I . La fonction g définie par g(x)=f( x+ )
est dérivable et sa dérivée vaut...
Démonstration :
Le taux d'accroissement de g en a est donné par :
...
...
...
Ce qui donne :
...
...
...
En posant T= a+ et H= h :
...
...
...
D'où :
...
...
...
Exemple n°3 :
Dériver la fonction f définie par f(x)=(2x – 4)² – 3(2x – 4) .
...
...
...
47/60
48/60 - Chap.
...
...
...
...
...
...
Propriété n°3 (admise)
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I . Soit f une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I) . La fonction g définie par g(x)=f(u(x)) est dérivable sur I et sa dérivée vaut...
Exemple n°4 :
Dériver la fonction f
ndéfinie par f
n(x) = 1 ( √ x )
n.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
48/60
49/60 - Chap.
Se tester C4.3 (sur 6) Objectifs :
Niveau a eca n
C4.c 1 Savoir dériver une fonction composée
Ex.1
1. [/4] On sait que h est une fonction. Soit la fonction f définie par :
f(x) = [h(x)]
3– 3h(x)
Dériver f en fonction de h et h' (sans se servir de la question suivante) :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
2. [/2] On sait maintenant que h est la fonction définie par h(x)=4x – 3 . Appliquer le résultat précédent pour déterminer la dérivée de f .
...
...
...
...
...
...
...
...
49/60
50/60 - Chap.
Résultats 1. f ’ (x) = 3 × h’(x) × [h(x)]
2– 3× h’(x) .
2. f ’ (x) = 12 × (4x – 3)
2– 12 .
Interrogation n°3 Objectifs
C4.c_Niv1 :savoir dériver une fonction composée.
Exercice n°5*
Ex.53 p.86
Activité d'approche n°3 : Dérivée de Sinus et Cosinus Dérivabilité de sinus et de cosinus.
On travaille sur l'intervalle ]0 ; π 2 [ . a. Que peut-on dire de lim
x→0
sinx x ?
…...
b. Exprimer IT en fonction de sinx et cosx .
...
…...
c. Ranger par ordre croissant les aires du secteur angu- laire OIM , du triangle OTI et du triangle OIM .
...
…...
d. En déduire que sin x x sin cos x x , puis que cos x sin x x 1.
...
...
...
...
...
...
...
e. En déduire lim
x→0
sinx x .
...
...
...
f. En déduire la dérivée de sinus en 0 .
...
...
...
g. Démontrer que ( cos h ) – 1 h = sin h
h × − sin h
( cos h ) + 1 .
...
...
...
...
50/60
I x
J M
O Sin x
cos x
T
51/60 - Chap.
...
...
h. En déduire la dérivée de cosinus en 0 .
...
...
...
i. Démontrer que sin ( a + h )− sin a
h = sin a × ( cos h )− 1
h +cos a × sin h
h ...
...
...
k. En déduire la dérivée de sinus en tout point.
...
...
...
...
...
...
On déterminerait ensuite de façon similaire la dérivée de cosinus (en utilisant cos x = sin (x + π 2 ) et cos (x + π
2 ) = – sin (x ). )
Cours n°4 : Dérivée de Sinus et Cosinus IV) Dérivées de sinus et cosinus
Remarque :
Revoir les formules d'addition, de duplication, et autres relations trigonométriques de première, ainsi que les valeurs particulières.
Rappel :
f est une fonction paire si f (……) = f (……) f est une fonction impaire si f (……) = f (……)
f est une fonction périodique de période T si f (………...) = f (……) Propriété n°4
(sin x)'=... et (cos x)'= …...
Démonstration : cf activité d'approche n°3 Propriété n°5
lim
x→0
sin x
x =... et lim
x→0
