Chap. n°8 : Étude des variations des fonctions sinus et cosinus
Objectifs du chapitre :
Savoirs et savoir-faire :
C8.a - Niv1 - Savoir déterminer la parité et la périodicité d’une fonction trigonométrique.
C8.b - Niv2 - Savoir construire le tableau de variation d’une fonction trigonométrique.
Activité d’approche n°1
Cette activité a pour but de rappeler les propriétés et le sens des fonctions trigonométriques.
1. En utilisant le triangle ONM, expliquer pourquoi ON = cos x et pourquoi
OP= sin x.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2. Compléter : Radian :
Le radian est une unité d'……….. Un tour complet fait …... radians.
3. Compléter :
O 1
1
x Ordonnée
de M : yM= sin x
Abscisse de M : xM= cos x
M
Longueur de l’arc de cercle IM
= angle x en radian
I N
P
Degrés 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270°
Radians 4. Compléter :
Mesure principale d'un angle orienté :
La mesure principale d'un angle orienté est l'unique mesure d’angle qui appartient à l'intervalle […..;…..[.
5. Compléter :
Relations de bases : Pour tout nombre réel x :
1. ... ⩽ cosx ⩽ … et … ⩽ sinx ⩽ ...
2. cos(x + k×2) = ..., sin(x + k×2) = ... , k étant un nombre entier relatif quelconque.
3. (cos x)2 + (sin x)2 = ...
Exemple n°1 : Calculez cos(9π) :
...
Calculez sin
(
344π)
:...
6. Compléter :
Valeurs particulières :
x 0 π
6 π
4 π
3 π
2
Sin x ... ... ... ... ...
Cos x ... ... ... ... ...
7. Compléter :
Égalités de base : Pour tout réel x,
1. cos(–x) = ... , sin(–x) = ...
2. cos( – x) = ... , sin( – x) = ...
3. cos( + x) = ... , sin( + x) = ...
4. cos(π
2 –x) = ... , sin(π
2 – x) = ...
5. cos(π
2 + x) = ...….. , sin(π
2 +x) =...
Démonstration :
x
M J
sin x
I x
M J
O sin x
cos x I
x
M J
O sin x
cos x
8. Compléter :
Équations de base :
1. L'égalité cos x = cos y équivaut à x=….+k ×2π ou x=….+k ×2π , k ∈ ….
2. L'égalité sin x = sin y équivaut à x=….+k ×2π ou x=… …… …...+k ×2π , k ∈ ….
3. L’égalité cos x = sin y équivaut à cosx=sin… …… …..
8.a. Résoudre cos x =
√
22 :
...
...
...
...
...
b. Résoudre sin x = sin 2π 3
...
...
...
...
...
c. Résoudre cos ( 3x ) = sin x. On donnera les mesures principales des solutions.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
I x
M J
O sin x
cos x I
x
M J
O sin x
cos x
...
...
...
d. Résoudre sin ( 2(x – 3) ) – 1 =
√
2−22 . On donnera les mesures principales des solutions.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
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...
...
...
...
e. Résoudre sin (x) × cos (x) = 2 cos (x). On donnera les mesures principales des solutions.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
9. Compléter :
Formules d’addition et conséquences :
1. cos(a + b) = cos a cos b ….... 2. sin(a + b) = sin a cos b…...…
Conséquences :
3. cos(a – b) = cos a cos b …....
4. sin(a – b) = sin a cos b…...…
5. cos(2a) = ……… = ………
6. sin(2a) = ……….
Démonstration partielle : On rappelle que :
1. Le produit scalaire de deux vecteurs u⃗
(
ab)
et ⃗v(
ab)
est un nombre réel donné par la formule : ………2. Le produit scalaire est la ………. du projeté ………... de ⃗u sur ⃗v (et du projeté orthogonale de ⃗v sur ⃗u ), affecté du signe - si ce projeté
orthogonal est dans le sens opposé à ⃗v (respectivement le sens opposé à ⃗u ) :
3. Soit deux vecteurs ⃗u et ⃗v . Si ⃗u
≠
⃗0 et ⃗v≠
⃗0,
le produit scalaire ⃗u .⃗v est le réel défini par :⃗u .⃗v =...×...×.... Sinon,⃗u .⃗v = …...
Soit (O ; ⃗OA,⃗OB ) un repère orthonormé direct. Soit c le cercle trigonométrique de centre O. M est un point du cercle c tel que ( ⃗OA,⃗OM ) = b. M' est un point de c tel que ( ⃗OA,⃗OM' ) = a .
9.a. Calculer une mesure de ( ⃗OM , ⃗OM' ).
...
b. Exprimer le produit scalaire ⃗OM .⃗OM' de deux façons différentes.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
c. En déduire la formule cos(a – b) = …
...
...
...
...
...
d. Résoudre 2 sin (x) cos (x) =
√
32 . On donnera les mesures principales des solutions.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
e. Résoudre 1 – 2 (sin (x))2 =
√
32 . On donnera les mesures principales des solutions.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Fin de l’activité d’approche n°1 Activité d’approche n°2 Dérivabilité de sinus et de cosinus.
On travaille sur l'intervalle ]0 ; π 2[. 1. Que peut-on dire de lim
x→0
sinx x ?
...
2. Exprimer IT en fonction de sinx et cosx.
...
...
3. Ranger par ordre croissant les aires du secteur angu- laire OIM, du triangle OTI et du triangle OIM.
...
...
I x
J M
O sin x
cos x
T
4. En déduire que sin x ⩽ x ⩽ sinx
cosx, puis que cos x ⩽ sinx x ⩽1.
...
...
...
...
...
...
...
5. En déduire lim
x→0
sinx x .
...
...
...
6. En déduire la dérivée de sinus en 0.
...
...
...
7. Démontrer que (cosh)–1
h =
sinh
h × −sinh (cosh)+1.
...
...
...
...
...
...
8. En déduire la dérivée de cosinus en 0.
...
...
...
9. Démontrer que sin(a+h)−sina
h = sin a × (cosh)−1
h +cos a × sinh h
...
...
...
10. En déduire la dérivée de sinus en tout point.
...
...
...
...
...
...
On déterminerait ensuite de façon similaire la dérivée de cosinus (en utilisant cos x = sin (x + π2) et cos (x + π
2) = – sin (x).)
Fin de l’activité d’approche n°2
Cours n°1 :
C8.a - Niv1 - Savoir déterminer la parité et la périodicité d’une fonction trigonométrique.
C8.b - Niv2 - Savoir construire le tableau de variation d’une fonction trigonométrique.
Définition n°1 (fonction paires, impaires et périodiques) :
f est une fonction paire si f (……) = f (……) f est une fonction impaire si f (……) = f (……)
f est une fonction périodique de période T si f (………...) = f (……)
Propriété n°1 (parité et courbe représentative) :
Si une fonction est paire, sa courbe représentative est ………..
par rapport à ……….
Si une fonction est impaire, sa courbe représentative est ………..
par rapport à ………..
Propriété n°2 (dérivées de sinus et cosinus) :
(sin x)'=... et (cos x)'= …...
Propriété n°3 (sinus, cosinus, et limites ) :
limx→0
sinx
x =... et lim
x→0
(cosx)−1 x =...
Propriété n°4 (parités et périodicités des fonctions sinus et cosinus ) : La fonction sinus est impaire : sin (-x) = …...
La fonction sinus est périodique de période 2 : sin (x+ 2) = …...
La fonction cosinus est paire : cos (-x) = …...
La fonction cosinus est périodique de période 2 : cos (x+ 2) =…...…
Propriété n°5 (courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus ) :
Propriété n°6 (périodicité des fonctions sin (ax + b) et cos ( ax + b ) ) : La fonction f définie par f(x) = sin (ax + b) est périodique de période … ….
…
La fonction f définie par f(x) = cos (ax + b) est périodique de période … ….
… Exemple n°1
1. Soit g la fonction définie par g(x) = cos(2x)
2x . g est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .
...
...
...
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...
...
...
...
2. Soit f la fonction définie par f(x) = sin(3x)
3x . f est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .
...
...
...
...
...
...
...
...
3. Soit h la fonction définie par h(x) =cos (4x) + 4x. h est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°2
1. Soit f la fonction définie par f(x)=cos(2x). Quelle est sa périodicité ?
...
...
...
2. f est-elle paire ? Impaire ? Justifier .
...
...
...
...
3. Déduire des deux réponses précédentes sur quel intervalle il suffit d'étudier f.
...
...
...
...
4. Calculer la dérivée de f et étudier son signe sur l’intervalle déterminé à l a question 3.
...
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...
...
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...
...
...
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...
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...
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...
5.Déduire des questions précédentes le tableau de variation de f sur [-;].
...
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...
...
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...
...
...
...
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...
...
FIN du cours n°1
Premier ‘Se tester’ du cours n°1 : Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) : Savoir n°13
Quel est le signe de ex ?
………..
Quel est le sens de variation de ex ?
………..
Fin du savoir n°13
(Se tester du cours n°1 Ex.1 (3 pts)) - Exercice n°1 Voici trois fonctions :
Q est la fonction définie par Q(x)=sin(3x)+2x. ; K est la fonction définie par
K(x)=sin(4x)
3x ; O est la fonction définie par O(x)=cos(4x) 4x
Pour chacune d’entre elle, indiquer si la fonction est paire, impaire, ou aucune des des deux, en justifiant la réponse.
(Se tester du cours n°1 Ex.2 (1,5 pts)) - Exercice n°2
1[1]. Soit f la fonction définie par f (x)=cos(3x). Quelle est sa périodicité ? 2[1]. f est-elle paire ? Impaire ? Justifier .
3[1]. Déduire des deux réponses précédentes sur quel intervalle il suffit d'étudier f. 4[2]. Calculer la dérivée de f sur cet intervalle et étudier son signe sur l’intervalle déterminé à la question 3.
5[2]. Déduire des questions précédentes le tableau de variation de f sur
[
−π;π]
.Résultats du Se tester :
1er ex : K est paire, O est impaire, Q n’est ni pair, ni impair.
2ème ex : 1. 2
3π 2. paire 3.
[
0;23π]
4. −3×sin(3x); Négative sur[
0;π3]
, sur[
23π;1π]
, … 5. Décroissante sur[
0;π3]
, sur[
23π;1π]
, …Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°1
Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1 : Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) :
Savoir n°3
Donner le résultat de (il peut y avoir des formes indéterminées) : 1. +∞
−∞ = ………...
2. a ∈ ℝ*+ , a
0+¿¿ = ………
3. a ∈ ℝ*- , a
0+¿¿ = ………
Fin du savoir n°3
(Se tester du cours n°1 Ex.1 (3 pts)) - Exercice n°3 Voici trois fonctions :
D est la fonction définie par D(x)=sin(3x)+3x. ; M est la fonction définie par
M (x)=cos(4x)
3x ; G est la fonction définie par G(x)=sin(2x) 2x
Pour chacune d’entre elle, indiquer si la fonction est paire, impaire, ou aucune des des deux, en justifiant la réponse.
(Se tester du cours n°1 Ex.2 (1,5 pts)) - Exercice n°4
1[1]. Soit f la fonction définie par f (x)=cos(2x). Quelle est sa périodicité ? 2[1]. f est-elle paire ? Impaire ? Justifier .
3[1]. Déduire des deux réponses précédentes sur quel intervalle il suffit d'étudier f. 4[2]. Calculer la dérivée de f sur cet intervalle et étudier son signe sur l’intervalle déterminé à la question 3.
5[2]. Déduire des questions précédentes le tableau de variation de f sur
[
−π;π]
.Résultats du Se tester :
1er ex : G est paire, M est impaire, D n’est ni pair, ni impair.
2ème ex : 1. 1π 2. paire 3.
[
0;1π]
4. −2×sin(2x); Négative sur[
0;π2]
, sur[
1π;32π]
,… 5. Décroissante sur
[
0;π2]
, sur[
1π;32π]
, …Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1
Interrogation n°1 :
Objectif : C8.a - Niv1 - Savoir déterminer la parité et la périodicité d’une fonction trigonométrique.
Objectif : C8.b - Niv2 - Savoir construire le tableau de variation d’une fonction trigonométrique.
Exercices du cours n°1 Exercice n°1
Ex.68 p.87 Exercice n°2
Ex.87 p.88 Exercice n°3**
Ex.107 p.89 Exercice n°4***
Sujet D p.98 Exercice n°5***
Ex.143 p.99
NE PAS FAIRE de travail au-delà d’un cours non complété.
Date d’aujourd’hui : ...……….
Prénom et classe :...………
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* REPASSES D’INTERROGATIONS (Cn°chap.n°cours) : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
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