Chapitre n°4 : Dérivées (compléments)
Objectifs :
Niveau a eca n
C4.a 1 Calculer la dérivée de [u]^n
C4.b 1 savoir dériver une fonction composée de racine carrée
C4.c 1 Savoir dériver une fonction composée
C4.d 2 Savoir étudier les variations d'une fonction
trigonométrique
Activité d'approche n°1 : Dérivée de u puissance n
On définit une famille de fonctions gn par gn(x)=[u(x)]n, où u est une fonction dérivable sur l'intervalle étudié, et n est un entier naturel positif.
1. Déterminer g'2 en fonction de u et u'.
...
...
...
...
...
...
2. Déterminer g'3 en fonction de u et u'.
...
...
...
...
...
...
3. Conjecturer g'n.
...
...
...
4. Démontrer la conjecture.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
5. Comment généraliser la formule pour n entier relatif ?
...
...
...
1/60
...
...
...
Cours n°1 : Dérivée de u puissance n Rappel (Propriété n°0) :
1. Réviser les formules de dérivation (→ Mathenpoche, livre...)
2. Soit f une fonction dérivable, cf sa courbe représentative. Une équation de la tangente à cf au point d'abscisse a est donnée par :
y=.... ( vaut .…...……...….)
3. Le taux d'accroissement est ...…...…...….…....…
... et sa limite quand h
tend vers 0 est la ...…... de f en a. I) Dérivée de ( u(x))n
Propriété n°1
Soit n un nombre entier relatif et u(x) une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction un est dérivable sur I et sa dérivée vaut …...
Démonstration: cf activité 1.
Exemple n°1 :
Dériver la fonction f définie par
(
2x2x−1−4)
5...
...
...
...
...
...
Se tester C4.1 (sur 3) Objectifs :
Niveau a eca n
C4.a 1 Calculer la dérivée de [u(x)]^n
Ex.1 [d:1,f:1,r:1]
Dériver la fonction f définie par f(x) =
(
2xx –2 – 26)
3....
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
3/60
Résultats Ex.1 : f ’(x) =−2x2+12x−4
(x2−2)² ( g(x))2.
Interrogation n°1 Objectifs
C4.a_Niv1 :Calculer la dérivée de [u(x)]^n Exercice n°1
Ex.5 p.84 Exercice n°2
Ex.7 p.84
Activité d'approche n°2 : Dérivée de racine carrée de u Soit u(x) une fonction dérivable et positive sur un intervalle I. On définit la fonction f par f(x)=√u(x).
1. Exprimer le taux d'accroissement (h) de f en a.
...
...
...
...
...
...
2. En multipliant par la quantité adéquate, démontrer que :
(h)= u(a+h)−u(a)
h × 1
√u(a+h) +√u(a)
...
...
...
3. En déduire la dérivée de f.
...
...
...
...
...
...
Cours n°2 : Dérivée de racine carrée de u II) Dérivée de √u
Propriété n°2
Démonstration: cf activité 2.
Remarque : en considérant que √u(x)= (u(x))1/2 , on « retombe » sur la formule du cours n°1.
Exemple n°2 :
Dériver la fonction f définie par
√
2xx−42−1 ....
...
...
...
...
...
...
...
...
5/60
Se tester C4.2 (sur 3) Objectifs :
Niveau a eca n
C4.b 1 savoir dériver une fonction composée de racine carrée
Ex.1 (der:1, for:1, res:1)
Dériver la fonction f définie par f(x) =
√
7xx –2 – 51...
...
...
...
...
...
...
...
......
...
Résultats Ex.1 : f ‘(x)= (−7x2+2x−35) √x2−5
2( x2−5)²√7x−1 .
Interrogation n°2 Objectifs
C4.b_Niv1 :savoir dériver une fonction composée de racine carrée Exercice n°3
Ex.3 p.84 Exercice n°4
Ex.4 p.84
Cours n°3 : Dérivée de la fonction d’une fonction affine III) Dérivée de x → f ( ax+b )
Propriété n°2
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonctiong définie par g(x)=f(x+)
est dérivable et sa dérivée vaut...
Démonstration :
Le taux d'accroissement de g en a est donné par :
...
...
...
Ce qui donne :
...
...
...
En posant T=a+ et H=h :
...
...
...
D'où :
...
...
...
Exemple n°3 :
Dériver la fonction f définie par f(x)=(2x – 4)² – 3(2x – 4) .
...
...
...
7/60
...
...
...
...
...
...
Propriété n°3 (admise)
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.Soit f une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I). La fonctiong définie par g(x)=f(u(x)) est dérivable sur I et sa dérivée vaut...
Exemple n°4 :
Dériver la fonction fn définie par fn (x) = 1 (√ x)n.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester C4.3 (sur 6) Objectifs :
Niveau a eca n
C4.c 1 Savoir dériver une fonction composée
Ex.1
1. [/4] On sait que h est une fonction. Soit la fonction f définie par :
f(x) = [h(x)]5 –6h(x)
Dériver f en fonction de h et h' (sans se servir de la question suivante) :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
2. [/2] On sait maintenant que h est la fonction définie par h(x)=7x – 5. Appliquer le résultat précédent pour déterminer la dérivée de f.
...
...
...
...
...
...
...
...
9/60
Résultats 1. f ’ (x) = 5 × h’(x) × [h(x)] 4 – 6× h’(x).
2. f ’ (x) = 35 × (7x – 5) 4 – 42.
Interrogation n°3 Objectifs
C4.c_Niv1 :savoir dériver une fonction composée.
Exercice n°5*
Ex.53 p.86
Activité d'approche n°3 : Dérivée de Sinus et Cosinus Dérivabilité de sinus et de cosinus.
On travaille sur l'intervalle ]0 ; π 2[. a. Que peut-on dire de lim
x→0
sinx x ?
…...
b. Exprimer IT en fonction de sinx et cosx.
...
…...
c. Ranger par ordre croissant les aires du secteur angu- laire OIM, du triangle OTI et du triangle OIM.
...
…...
d. En déduire que sin x x sin x
cos x, puis que cos x sin x
x 1.
...
...
...
...
...
...
...
e. En déduire lim
x→0
sinx x .
...
...
...
f. En déduire la dérivée de sinus en 0.
...
...
I x
J M
O Sin x
cos x
T
...
...
h. En déduire la dérivée de cosinus en 0.
...
...
...
i. Démontrer que sin(a+h)−sin a
h = sin a × (cosh)−1
h +cos a × sin h
h ...
...
...
k. En déduire la dérivée de sinus en tout point.
...
...
...
...
...
...
On déterminerait ensuite de façon similaire la dérivée de cosinus (en utilisant cos x = sin (x + π
2) et cos (x + π
2) = – sin (x).)
Cours n°4 : Dérivée de Sinus et Cosinus IV) Dérivées de sinus et cosinus
Remarque :
Revoir les formules d'addition, de duplication, et autres relations trigonométriques de première, ainsi que les valeurs particulières.
Rappel :
f est une fonction paire si f (……) = f (……) f est une fonction impaire si f (……) = f (……)
f est une fonction périodique de période T si f (………...) = f (……) Propriété n°4
(sin x)'=... et (cos x)'= …...
Démonstration : cf activité d'approche n°3 Propriété n°5
lim
x→0
sin x
x =... et lim
x→0
(cos x) −1 x =...
Démonstration : cf activité d'approche n°3 Propriété n°6
11/60
La fonction sinus est impaire : sin (-x) = …...
La fonction sinus est périodique de période 2 : sin (x+ 2) = …...
La fonction cosinus est paire : cos (-x) = …...
La fonction cosinus est périodique de période 2 : cos (x+ 2) =…...…
Propriété n°7
La fonction f définie par f(x) = sin (ax + b) est périodique de période …….
… La fonction f définie par f(x) = cos (ax + b) est périodique de période …….
…
Démonstration
...
...
...
...
...
Exemple n°4
1. Soit g la fonction définie par g(x) = cos(2x)
2x . g est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .
...
2. Soit f la fonction définie par f(x) = sin(3x)
3x . f est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .
...
...
...
...
...
...
...
...
3. Soit h la fonction définie par h(x) =cos (4x) + 4x. h est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°5
1. Soit f la fonction définie par f(x)=cos(2x). Quelle est sa périodicité ? ...
...
...
2. f est-elle paire ? Impaire ? Justifier .
...
...
...
...
3. Déduire des deux réponses précédentes sur quel intervalle il suffit d'étudier f.
...
...
...
...
4. Calculer la dérivée de f et étudier son signe.
...
...
...
...
...
...
...
...
5.Déduire des questions précédentes le tableau de variation de f sur [-;].
...
13/60
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester C4.4 (sur 10) Objectifs :
Niveau a eca n
C4.d 2 Savoir étudier les variations d'une fonction
trigonométrique Exercice n°1 [/3]
1. [1] Soit g la fonction définie par g(x)=cos(4x)
4x . g est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ?
Justifier . ...
...
...
2. [1] Soit f la fonction définie par f (x) =sin(3x)
4x . f est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ?
Justifier . ...
...
...
3. [1] Soit h la fonction définie par h(x)=sin(4x) +2x. h est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ?
Justifier . ...
...
...
Exercice n°2 [/7]
1[1]. Soit f la fonction définie par f(x)=cos(4x).Quelle est sa périodicité ?
...
...
d'étudier f.
...
...…
4[2]. Calculer la dérivée de f sur cet intervalle et étudier son signe.
...
...
...
...
...
...
...
...…
5[2].Déduire des questions précédentes le tableau de variation de f sur [-;].
...
......
......
...
...
...
...
...
...
...
...
...
......
15/60
Résultats Ex.1 : Dans le désordre : paire ; impaire ; impaire.
Ex.2 : 1. 1
2π 2. paire 3. [0;1
2π] 4. f ’(x)=-4sin(4x). - entre 0 et π
4, + entre π 4 et 2π
4 ...
Interrogation n°4 Objectifs
C4.d_Niv2 :Savoir étudier les variations d'une fonction trigonométrique Exercice n°6
Ex.68 p.87 Exercice n°7
Ex.87 p.88 Exercice n°8**
Ex.107 p.89 Exercice n°9**
Sujet A p.97 Exercice n°10***
Sujet D p.98 Exercice n°11***
Ex.143 p.99
17/60
Résultats ou indices
Exercice n°1 -Ex.5 p.84- f ' (x)=2(x+1) et g' (x)=3(x+1)2
Exercice n°2 -Ex.7 p.84- f ' (x)=6(2x+1)2et g' (x)=4(2x+1)(x2+x)3
Exercice n°3 -Ex.3 p.84- f ' (x)= 1
√2x+1 et g' (x)=
3x
√3x2+1
Exercice n°4 -Ex.4 p.84- f ' (x)= x
√x2+1 et g' (x)=
3x
√3x2+1
Exercice n°5* -Ex.53 p.86- 1. f '(x)= 2v'(x)(2x–1), g'(x)= – 3v'(x)(–3x), et h'(x)= –v'(x)(5 – x). 2. f'(x)= 1
2x2−2x+1 , g' (x)= −3
(−3x)2+1et h' (x)= −1
(5−x)2+1
Exercice n°6 -Ex.68 p.87- f ' (x)= –2cos x + 2xsin x et g' (x)= 2xsin x + x2cos x.
Exercice n°7 -Ex.87 p.88- lim
x→ +∞
f (x)=−∞ lim
x→ −∞
f (x)= +∞
Exercice n°8** -Ex.107 p.89- 1.a. f(-x)=f(x) et f(x + )=f(x). 1.b. cf est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et on peut compléter la courbe par translation de vecteur k2.f ' (x)=2sin x cos x 3. Sur [0 ; ], f ' (x)0. 4.
Exercice n°9** -Sujet A p.97- 1. x ∈ [0;1[ 2. A(x) = (2+2x)√1−x²
2 et V(x)=2(1+x)√1+x2 3.
V’(x)=2 × 1−x−2x²
√1−x2 4. x=0,5.
Exercice n°10*** -Sujet D p.98- 1.a.
1.b. f ' (x)= –cos x.
1.c. 1,89<x0<1,90
2.a. T=sin cos . 2.b. S = –sin cos . 2.c.
=x0.
Exercice n°12*** -Ex.143 p.99- 1.a. '(t) = 2π T
0cos(2π
T t + ). 1.b. =2.a.(t) = π
36sin(t +π
2) 2.b. a pour période 2. 2.c. Si t ∈ [0;1], '(t)0, si t ∈ [1;2],
'(t)0. 2.d.
3.
4.a. (0,5) ≈0 :
équilibre, 4.b.
(1) ≈ –0,09 rad : -5° de sa position d'équilibre.
4.c.(1,5) ≈0 :
équilibre, 4.d.
(2) ≈ 0,09 rad : 5° de sa
position d'équilibre. 4.e . (3) ≈ -0,09 rad : -5° de sa position d'équilibre.
19/60
Chapitre n°4 : Dérivées (compléments)
Objectifs :
Niveau a eca n
C4.a 1 Calculer la dérivée de [u]^n
C4.b 1 savoir dériver une fonction composée de racine carrée
C4.c 1 Savoir dériver une fonction composée
C4.d 2 Savoir étudier les variations d'une fonction
trigonométrique
Activité d'approche n°1 : Dérivée de u puissance n
On définit une famille de fonctions gn par gn(x)=[u(x)]n, où u est une fonction dérivable sur l'intervalle étudié, et n est un entier naturel positif.
1. Déterminer g'2 en fonction de u et u'.
...
...
...
...
...
...
2. Déterminer g'3 en fonction de u et u'.
...
...
...
...
...
...
3. Conjecturer g'n.
...
...
...
4. Démontrer la conjecture.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
5. Comment généraliser la formule pour n entier relatif ?
...
...
...
21/60
...
...
...
Cours n°1 : Dérivée de u puissance n Rappel (Propriété n°0) :
1. Réviser les formules de dérivation (→ Mathenpoche, livre...)
2. Soit f une fonction dérivable, cf sa courbe représentative. Une équation de la tangente à cf au point d'abscisse a est donnée par :
y=.... ( vaut .…...……...….)
3. Le taux d'accroissement est ...…...…...….…....…
... et sa limite quand h
tend vers 0 est la ...…... de f en a. I) Dérivée de ( u(x))n
Propriété n°1
Soit n un nombre entier relatif et u(x) une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction un est dérivable sur I et sa dérivée vaut …...
Démonstration: cf activité 1.
Exemple n°1 :
Dériver la fonction f définie par
(
2x2x−1−4)
5...
...
...
...
...
...
Se tester C4.1 (sur 3) Objectifs :
Niveau a eca n
C4.a 1 Calculer la dérivée de [u(x)]^n
Ex.1 [d:1,f:1,r:1]
Dériver la fonction f définie par f(x) =
(
2xx –2 – 64)
5....
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
23/60
Résultats Ex.1 : f ’(x) =−2x2+8x−12
(x2−6)² ( g(x))4.
Interrogation n°1 Objectifs
C4.a_Niv1 :Calculer la dérivée de [u(x)]^n Exercice n°1
Ex.5 p.84 Exercice n°2
Ex.7 p.84
Activité d'approche n°2 : Dérivée de racine carrée de u Soit u(x) une fonction dérivable et positive sur un intervalle I. On définit la fonction f par f(x)=√u(x).
1. Exprimer le taux d'accroissement (h) de f en a.
...
...
...
...
...
...
2. En multipliant par la quantité adéquate, démontrer que :
(h)= u(a+h)−u(a)
h × 1
√u(a+h) +√u(a)
...
...
...
3. En déduire la dérivée de f.
...
...
...
...
...
...
Cours n°2 : Dérivée de racine carrée de u II) Dérivée de √u
Propriété n°2
Démonstration: cf activité 2.
Remarque : en considérant que √u(x)= (u(x))1/2 , on « retombe » sur la formule du cours n°1.
Exemple n°2 :
Dériver la fonction f définie par
√
2xx−42−1 ....
...
...
...
...
...
...
...
...
25/60
Se tester C4.2 (sur 3) Objectifs :
Niveau a eca n
C4.b 1 savoir dériver une fonction composée de racine carrée
Ex.1 (der:1, for:1, res:1)
Dériver la fonction f définie par f(x) =
√
xx –2 –79...
...
...
...
...
...
...
...
......
...
Résultats Ex.1 : f ‘(x)= (−x2+14x−9) √x2−9
2( x2−9)²√x−7 .
Interrogation n°2 Objectifs
C4.b_Niv1 :savoir dériver une fonction composée de racine carrée Exercice n°3
Ex.3 p.84 Exercice n°4
Ex.4 p.84
Cours n°3 : Dérivée de la fonction d’une fonction affine III) Dérivée de x → f ( ax+b )
Propriété n°2
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonctiong définie par g(x)=f(x+)
est dérivable et sa dérivée vaut...
Démonstration :
Le taux d'accroissement de g en a est donné par :
...
...
...
Ce qui donne :
...
...
...
En posant T=a+ et H=h :
...
...
...
D'où :
...
...
...
Exemple n°3 :
Dériver la fonction f définie par f(x)=(2x – 4)² – 3(2x – 4) .
...
...
...
27/60
...
...
...
...
...
...
Propriété n°3 (admise)
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.Soit f une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I). La fonctiong définie par g(x)=f(u(x)) est dérivable sur I et sa dérivée vaut...
Exemple n°4 :
Dériver la fonction fn définie par fn (x) = 1 (√ x)n.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester C4.3 (sur 6) Objectifs :
Niveau a eca n
C4.c 1 Savoir dériver une fonction composée
Ex.1
1. [/4] On sait que h est une fonction. Soit la fonction f définie par :
f(x) = [h(x)]8 –7h(x)
Dériver f en fonction de h et h' (sans se servir de la question suivante) :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
2. [/2] On sait maintenant que h est la fonction définie par h(x)=8x – 6. Appliquer le résultat précédent pour déterminer la dérivée de f.
...
...
...
...
...
...
...
...
29/60
Résultats 1. f ’ (x) = 8 × h’(x) × [h(x)] 7 – 7× h’(x).
2. f ’ (x) = 64 × (8x – 6) 7 – 56.
Interrogation n°3 Objectifs
C4.c_Niv1 :savoir dériver une fonction composée.
Exercice n°5*
Ex.53 p.86
Activité d'approche n°3 : Dérivée de Sinus et Cosinus Dérivabilité de sinus et de cosinus.
On travaille sur l'intervalle ]0 ; π 2[. a. Que peut-on dire de lim
x→0
sinx x ?
…...
b. Exprimer IT en fonction de sinx et cosx.
...
…...
c. Ranger par ordre croissant les aires du secteur angu- laire OIM, du triangle OTI et du triangle OIM.
...
…...
d. En déduire que sin x x sin x
cos x, puis que cos x sin x
x 1.
...
...
...
...
...
...
...
e. En déduire lim
x→0
sinx x .
...
...
...
f. En déduire la dérivée de sinus en 0.
...
...
I x
J M
O Sin x
cos x
T
...
...
h. En déduire la dérivée de cosinus en 0.
...
...
...
i. Démontrer que sin(a+h)−sin a
h = sin a × (cosh)−1
h +cos a × sin h
h ...
...
...
k. En déduire la dérivée de sinus en tout point.
...
...
...
...
...
...
On déterminerait ensuite de façon similaire la dérivée de cosinus (en utilisant cos x = sin (x + π
2) et cos (x + π
2) = – sin (x).)
Cours n°4 : Dérivée de Sinus et Cosinus IV) Dérivées de sinus et cosinus
Remarque :
Revoir les formules d'addition, de duplication, et autres relations trigonométriques de première, ainsi que les valeurs particulières.
Rappel :
f est une fonction paire si f (……) = f (……) f est une fonction impaire si f (……) = f (……)
f est une fonction périodique de période T si f (………...) = f (……) Propriété n°4
(sin x)'=... et (cos x)'= …...
Démonstration : cf activité d'approche n°3 Propriété n°5
lim
x→0
sin x
x =... et lim
x→0
(cos x) −1 x =...
Démonstration : cf activité d'approche n°3 Propriété n°6
31/60
La fonction sinus est impaire : sin (-x) = …...
La fonction sinus est périodique de période 2 : sin (x+ 2) = …...
La fonction cosinus est paire : cos (-x) = …...
La fonction cosinus est périodique de période 2 : cos (x+ 2) =…...…
Propriété n°7
La fonction f définie par f(x) = sin (ax + b) est périodique de période …….
… La fonction f définie par f(x) = cos (ax + b) est périodique de période …….
…
Démonstration
...
...
...
...
...
Exemple n°4
1. Soit g la fonction définie par g(x) = cos(2x)
2x . g est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .
...
2. Soit f la fonction définie par f(x) = sin(3x)
3x . f est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .
...
...
...
...
...
...
...
...
3. Soit h la fonction définie par h(x) =cos (4x) + 4x. h est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ? Justifier .
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°5
1. Soit f la fonction définie par f(x)=cos(2x). Quelle est sa périodicité ? ...
...
...
2. f est-elle paire ? Impaire ? Justifier .
...
...
...
...
3. Déduire des deux réponses précédentes sur quel intervalle il suffit d'étudier f.
...
...
...
...
4. Calculer la dérivée de f et étudier son signe.
...
...
...
...
...
...
...
...
5.Déduire des questions précédentes le tableau de variation de f sur [-;].
...
33/60
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester C4.4 (sur 10) Objectifs :
Niveau a eca n
C4.d 2 Savoir étudier les variations d'une fonction
trigonométrique Exercice n°1 [/3]
1. [1] Soit g la fonction définie par g(x)=cos(3x)
2x . g est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ?
Justifier . ...
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2. [1] Soit f la fonction définie par f (x) =sin(3x)
3x . f est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ?
Justifier . ...
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3. [1] Soit h la fonction définie par h(x)=cos(2x) +3x. h est-elle paire ? Impaire ? Ni l'un ni l'autre ?
Justifier . ...
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Exercice n°2 [/7]
1[1]. Soit f la fonction définie par f(x)=sin(4x).Quelle est sa périodicité ?
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d'étudier f.
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4[2]. Calculer la dérivée de f sur cet intervalle et étudier son signe.
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5[2].Déduire des questions précédentes le tableau de variation de f sur [-;].
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Résultats
Ex.1 : Dans le désordre : paire ; impaire ; ni paire ni impaire.
Ex.2 : 1. 1
2π 2. impaire 3. [0;1
2π] 4. f ’(x)=4cos(4x). + entre 0 et π
8, - entre π 8 et π
4...
Interrogation n°4 Objectifs
C4.d_Niv2 :Savoir étudier les variations d'une fonction trigonométrique Exercice n°6
Ex.68 p.87 Exercice n°7
Ex.87 p.88 Exercice n°8**
Ex.107 p.89 Exercice n°9**
Sujet A p.97 Exercice n°10***
Sujet D p.98 Exercice n°11***
Ex.143 p.99
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Résultats ou indices
Exercice n°1 -Ex.5 p.84- f ' (x)=2(x+1) et g' (x)=3(x+1)2
Exercice n°2 -Ex.7 p.84- f ' (x)=6(2x+1)2et g' (x)=4(2x+1)(x2+x)3
Exercice n°3 -Ex.3 p.84- f ' (x)= 1
√2x+1 et g' (x)=
3x
√3x2+1
Exercice n°4 -Ex.4 p.84- f ' (x)= x
√x2+1 et g' (x)=
3x
√3x2+1
Exercice n°5* -Ex.53 p.86- 1. f '(x)= 2v'(x)(2x–1), g'(x)= – 3v'(x)(–3x), et h'(x)= –v'(x)(5 – x). 2. f'(x)= 1
2x2−2x+1 , g' (x)= −3
(−3x)2+1et h' (x)= −1
(5−x)2+1
Exercice n°6 -Ex.68 p.87- f ' (x)= –2cos x + 2xsin x et g' (x)= 2xsin x + x2cos x.
Exercice n°7 -Ex.87 p.88- lim
x→ +∞
f (x)=−∞ lim
x→ −∞
f (x)= +∞
Exercice n°8** -Ex.107 p.89- 1.a. f(-x)=f(x) et f(x + )=f(x). 1.b. cf est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et on peut compléter la courbe par translation de vecteur k2.f ' (x)=2sin x cos x 3. Sur [0 ; ], f ' (x)0. 4.
Exercice n°9** -Sujet A p.97- 1. x ∈ [0;1[ 2. A(x) = (2+2x)√1−x²
2 et V(x)=2(1+x)√1+x2 3.
V’(x)=2 × 1−x−2x²
√1−x2 4. x=0,5.
Exercice n°10*** -Sujet D p.98- 1.a.
1.b. f ' (x)= –cos x.
1.c. 1,89<x0<1,90
2.a. T=sin cos . 2.b. S = –sin cos . 2.c.
=x0.
Exercice n°12*** -Ex.143 p.99- 1.a. '(t) = 2π T
0cos(2π
T t + ). 1.b. =2.a.(t) = π
36sin(t +π
2) 2.b. a pour période 2. 2.c. Si t ∈ [0;1], '(t)0, si t ∈ [1;2],
'(t)0. 2.d.
3.
4.a. (0,5) ≈0 :
équilibre, 4.b.
(1) ≈ –0,09 rad : -5° de sa position d'équilibre.
4.c.(1,5) ≈0 :
équilibre, 4.d.
(2) ≈ 0,09 rad : 5° de sa
position d'équilibre. 4.e . (3) ≈ -0,09 rad : -5° de sa position d'équilibre.
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