Chapitre 4 : Fonctions dérivées 1ES 1. Limite en 0. Accroissement moyen. Limite en 0 :

1. Limite en 0. Accroissement moyen.

Limite en 0 : Si

f

est une fonction définie sur un intervalle

I

contenant 0, on admet que chercher la limite de

f

en 0 revient à calculer l'image de 0 par

f

. On note lim

x0 f x=f 0

exemple : Soit

f x = x3

2

x –

1. Déterminer sa limite en 0.

Définition:

a

et

b

étant deux nombres réels distincts de l'intervalle I, l'accroissement moyen de la fonction

f

entre

a

et

b

est le quotient f b– f a

b – a ^. Interprétation graphique:

Le quotient f b– f a

b – a est le coefficient directeur de la droite (AB) appelée sécante (AB).

Dans ce qui suit, on va s'intéresser à la position de la sécante par rapport à la courbe lorsque le point B « se rapproche » de A.

En d'autres termes, en posant

b =a h

avec

h

réel non nul, « B se rapproche de A » lorsque h « tend » vers 0.

Écrire l'accroissement moyen de f entre a et ah.

Exemple:

f  x =x

² . Déterminer la limite en 0 lorsque

h

tend vers 0 de l'accroissement moyen de

f

entre 2 et 2h. Traduction graphique ?

En économie : coût marginal d'une unité produite. Soit

C  q

le coût total lorsque l'on a fabriqué

q

unités. Le coût marginal de la

q – ième

unité produite est l'accroissement de coût dû à cette dernière unité produite c'est à dire C_mq=Cq– Cq –1_.

exemple: La fonction de coût total pour la fabrication de

q

chaises est donnée en euros, par

C  q= – q

²

20 q200

^{, pour q} ∈ [0 ;10].

Calculer le coût marginal de la 4ème chaise fabriquée. Exprimer le coût marginal de la q – ième chaise en fonction de

q

.

2. Nombre dérivé en x_A et tangente en x_A. Définition : Si le quotient f ah– fa

h tend vers un nombre lorsque

h

tend vers 0, alors la fonction

f

est dérivable en

a

.

La limite de ce quotient est le nombre dérivé de

f

en

a

. On le note

f ' a

. Écriture mathématique : lim

h0

fah– f a

h =f 'a Interprétation graphique:

f

est une fonction dérivable en

a

et

C

_f sa courbe représentative;

A

le point de

C

_f d'abscisse a et

M

un

point mobile de

C

_f d'abscisse ah.

tangente en A : La tangente à la courbe

C

_{f au point}

A

d'abscisse

a

est la droite passant par

A

dont le coefficient directeur est le nombre dérivé de f en a.

Son équation réduite est :

y= f '  x

_A

 x – x

_A

 f  x

_A



Propriétés de la tangente:

contact 

approximation 

f ' a=0



Point de vue calcul Point de vue graphique

3. Fonction dérivée et sens de variation.

Définition : Soit

f

une fonction définie sur l'intervalle I. On dit que

f

est dérivable sur I si le nombre dérivé

f '  x

existe pour tous les nombres

x

de I.

La fonction dérivée de f est la fonction notée f ' qui, à tout x de I, fait correspondre son nombre dérivé

f '  x

.

Plus schématiquement, f ' : x

f ' x

.

Dire que

f

est dérivable sur I signifie que, en tout réel

x

de

I

, la courbe

C

_f admet une seule tangente de coefficient directeur

f ' x 

Fonctions dérivées des fonctions de référence :

Fonction x b x

ax b x

_x²

x

_x³

x

_xⁿ

x

1

x

x  x

Condition

n1

,

n

∈

ℕ x ≠0 x

0

Fonction dérivée

Théorèmes (admis) :

Théorèmes (admis) : Soit

f

une fonction définie et dérivable sur un intervalle

I

. Si

f '  x

est positif pour tout

x

de

I

, alors

f

est croissante sur

I

.

Toutes les tangentes tracées ont un coefficient directeur positif, c'est à dire que tous les nombres

f '  x

sont positifs : la courbe

« monte » donc la fonction est croissante sur I .

Si

f ' x 

est négatif pour tout x de I, alors f est décroissante sur

I

.

Toutes les tangentes tracées ont un coefficient directeur négatif, c'est à dire que tous les nombres

f '  x

sont négatifs : la courbe « descend » donc la fonction est décroissante sur I.

Exemple d'étude de variations d'une fonction :

Soit

f

définie sur

[ –

2 ;5

]

par

f  x =– x

²

2 x

. Déterminer les variations de

f

sur

[ –

2 ;5

]

.

4. Calcul de dérivées

Fonction dérivée de la somme de deux fonctions :

Soit

u

et

v

deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Si

f  x =u  x v  x

, alors

f

est dérivable sur I et

f '  x=u '  x v '  x 

.

En d'autres termes,

uv ' =u ' v '

Exemple: I=[0 ;∞[ ,

u  x =  ^x

^et

v  x= x

³ . On pose

f x =u  x v  x

. Calculer

f ' 2

.

Fonction dérivée du produit d'une fonction par un réel :

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et k un réel . Si

f  x =k× u  x

, alors f est dérivable sur I et

f '  x=k ×u '  x 

.

En d'autres termes,

k ×u' = k ×u '

Exemple: I=]0 ;∞[ , f est définie sur I par

f x = −3

x 4 x

². Calculer

f ' −2

.

Fonction dérivée du produit de deux fonctions :

Soit

u

et

v

deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Si

f  x =u  x ×v  x

, alors

f

est dérivable sur I et

f '  x=u '  x ×v  x u  x×v '  x

.

En d'autres termes,

u×v ' =u ' × vu× v '

Exemple: I=ℝ , f est définie sur I par

f x =x

²

−3 x

4. Calculer

f '  x

.

Fonction dérivée du quotient de deux fonctions :

Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et v ne s'annule pas sur I . Si

f  x = u  x

v  x

^{, alors f} est dérivable sur I et

f '  x= u '  x ×v  x −u  x ×v '  x 

v  x

^{2 .}

En d'autres termes,

 u

v  ' = u ' × v− u× v ' v

² Exemple: I=[2;10] , f est définie sur I par

f  x =

3

x−2

3

x

² . Calculer

f '  x

pour tout xd e I.

Cas particulier :

f =

1

v

⁽

v

dérivable et ne s'annule pas sur l'intervalle de déf.) alors

f ' =

1

v ' = – v ' v

² exemple :

g

définie sur [0;3] par

g  x=

1

6

x5

, calculer

g '  x 

pour tout

x

de [0;3].