Chapitre 3 : Compléments sur les dérivées
1 Calcul de dérivées
1.1 Dérivée dex7−→f(ax+b)
On considère une fonctionfdérivable sur un intervalleI et deux réelsaetbfixés. On noteJ l’intervalle formé des réelsxtels que(ax+b)∈I, et la fonctiong:x7−→f(ax+b).
Alors la fonctiongest dérivable surJ et, pour toutxdeJ :
g′(x) =. . . . Théorème
1.2 Dérivée dex7−→p
u(x)etx7−→(u(x))n
On considère une fonctionustrictement positive et dérivable sur un intervalleI. La fonctiong :x7−→p u(x) est dérivable surI et, pour tout réelxdeI :
g′(x) =. . . .
On retient :(√
u)′ =. . . .. . . . Propriété
Soituune fonction définie et dérivable sur un intervalleI, et soitnun entier naturel.
• Sin≥1, alors la fonctionunest dérivable surI et(un)′ =. . . .. . . .
• Sin≥1, alors la fonction 1
unest dérivable pour tout réelxtel queu(x)6= 0et : 1
un
!′
=. . . .. . . que l’on note aussi :(u−n)′ =. . . .. . . . Propriété
Remarque :ces deux propriétés sont des cas particuliers de la dérivée d’une fonction composée x7−→v(u(x))
On admettra le résultat général :(v◦u)′ = (v(u(x)))′ =. . . .. . . . Preuve de la propriété 2 :
