RÈGLES DE CALCUL DES DÉRIVÉES
L’application de la définition ( f x - f a f ' a = lim
x - a ) se révèle assez lourde et peu pratique pour calculer rapidement la dérivée d’une fonction f. Vous connaissez déjà les règles permettant de dériver une somme, et le produit d’une fonction par un réel. Dans cette leçon, nous poursuivons l’étude de ces règles.
1. RAPPEL : RÈGLES 1, 2 ET 3
1. La dérivée d'une fonction constante est la fonction nulle : c' = 0.
La dérivée de la fonction identique est la fonction constante 1 : x' = 1.
2. La dérivée de la somme de deux fonctions dérivables est égale à la somme des dérivées de ces deux fonctions : (f + g)' = f ' + g'.
3. La dérivée du produit par un réel d'une fonction dérivable est égale au produit du réel par la dérivée de la fonction : (r . f)' = r . f ' (r ).
2. RÈGLE 4 : DÉRIVÉE D’UN PRODUIT DE DEUX FONCTIONS DÉRIVABLES Soient f et g deux fonctions dérivables en a. Calculons (f . g)‘(a) :
a a a a
f . g x - f . g a f . g a = lim
x - a
f x . g x - f a . g a
= lim
x - a
f x . g x - f a . g x + f a . g x - f a . g a
= lim
x - a
f x - f a g x - g a
= lim g x . + f a .
x - a x - a
= g a . f ' a + f a . g ' a Nous en déduisons la règle :
(f . g)' = f ' . g + f . g'
TAC 1
Déterminez les dérivées des fonctions suivantes : 1) f : x 3 x (x – 2)
2) f : x 2x + 3 4x 5
4 6
3) f : x (3 – 2x) (4x + 5)
TAC 2
1) Généralisez la règle à un produit de plus de deux fonctions : (f . g . h )’ = …
2) Calculez la dérivée de la fonction : f : x 2x (3x – 2) (2x + 1)
3. RÈGLE 5 : DÉRIVÉE DE LA FONCTION INVERSE D’UNE FONCTION DÉRIVABLE
Soit f une fonction dérivable en a. Calculons 1 ' a f :
2
2
a
a a
a
1 1
x a
f f
1 a lim
f x a
1 1
f x f a
lim f x 0
x a f a f x lim
f x f a x a
f x f a 1
lim
x a f x f a
f a 1 f a f a f a D’où la règle :
2
1 = f
f f
TAC 3
Calculez les dérivées des fonctions suivantes : 1) f : x 1
x 2) f : x 1
2x 3
4. RÈGLE 6 : DÉRIVÉE DU QUOTIENT DE DEUX FONCTIONS DÉRIVABLES Si f et g sont deux fonctions dérivables en a, nous avons :
2
2
f f 1
g g
1 1
f f (dérivée d'un produit : règle 4)
g g
g
f . 1 f (dérivée de l'inverse : règle 5)
g g
f g f g g
Nous avons donc la formule :
2
f g f g f =
g g
Exemple :
2
2
2
2
3x 2x + 1 3x 2x + 1
3x =
2x + 1 2x + 1
3 2x + 1 3x 2
= 2x + 1
6x + 3 6x
= 2x + 1
= 3
2x + 1
TAC 4
Calculez les dérivées suivantes :
1) 2x 3
x 2 2) 3x + 4
4 3x 3) x + 2 3x 5
2x 1
DEVOIR À ENVOYER
Calculez les dérivées des fonctions suivantes :
1. 2x + 3
f : x . 1 x 5
2. 1 2x
f : x
3x + 2
3. f : x 4x 32
4. f : x x + 1 . x + 3 x + 2
5. f : x 2
3x 2 2x 3
6. f : x 1 x 2 x 3 x
CORRIGÉ DES TAC
TAC 1
1) 3x x 2 = 3x x 2 + 3x x 2
= 3 x x 2 + 3x x 2
= 3 . 1 . x 2 + 3x . 1 0
= 3x 6 + 3x
= 6x 6
3 5 3 5 3 5
2) 2x + 4x = 2x + 4x - + 2x + 4x
4 6 4 6 4
5 3
= 2 . 4x + 2x + . 4
6 4
= 8x + 8x + 35 3
= 4
16x + 3
6
3) 3 2x 4x + 5 = 3 2x 4x + 5 + 3 2x 4x + 5
= 2 . 4x + 5 + 3 2x . 4
= 8x 10 + 12 8x
= 16x + 2
TAC 2
1) f . g . h ' = f . g ' . h + f . g . h '
= f ' . g + f . g ' . h + f . g . h '
= f ' . g . h + f . g ' . h + f . g . h '
2) [2x (3x – 2) (2x + 1)]'
= (2x)' (3x – 2) (2x + 1) + 2x (3x – 2)' (2x + 1) + 2x (3x – 2) (2x + 1)' = 2 (3x – 2) (2x + 1) + 2x . 3 (2x + 1) + 2x (3x – 2) . 2
= 2 (6x2 – x – 2) + 12x2 + 6x + 12x2 – 8x = 36x2 – 4x – 4
TAC 3
2
1 x'
1) = =
x x 2
1
x (on retrouve ainsi le résultat de la leçon 2 §2)
2
1 2x 3
2) = =
2x 3 2x 3 2
2 2x 3 TAC 4
2
2
2
2x 3 x 2 2x 3 x 2
2x 3
1) =
x 2 x 2
2 x 2 2x 3 1
= x 2
2x 4 2x + 3
= x 2
= 1 2
x 2
2
2
2
3x + 4 4 3x 3x + 4 4 3x ' 3x + 4
2) =
4 3x 4 3x
3 4 3x 3x + 4 3
= 4 3x
12 9x + 9x + 12
= 4 3x
= 24 2
4 3x
2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
x 2 3x 5 2x 1 x 2 3x 5 2x 1
x 2 3x 5 3)
2x 1 2x 1
x 2 3x 5 x 2 3x 5 2x 1 x 2 3x 5 2
2x 1
1 3x 5 x 2 3 2x 1 6x 2x 20
2x 1
6x 1 2x 1 6x 2x 20
2x 1
12x 4x 1 6x 2x 20
2x 1 6x 6x 19
