Chapitre 1 : Géométrie dans le triangle

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Chapitre 1 : Géométrie dans le triangle

I – Le théorème de Pythagore :

Théorème 1 : (direct) Soit ABC un triangle. Si ABC est rectangle en A alors BC²=AB²AC² Théorème 2 : (réciproque) Soit ABC un triangle. Si BC²=AB²AC² alors ABC est rectangle en A

II - Le théorème de Thalès :

Théorème 3 : (direct) Soit A, B, C, B' et C' cinq points du plan.

Si A, B, C sont alignés dans cet ordre, si A, B', C' sont alignés dans cet ordre, et si (BB') est parallèle à (CC')

alors ^AB AC=AB'

AC'=BB' CC' .

Théorème 4 : (réciproque) Soit A, B, C, B' et C' cinq points du plan.

Si A, B, C sont alignés dans cet ordre, si A, B', C' sont alignés dans cet ordre, et si AB

AC=AB' AC'

alors (BB') est parallèle à (CC').

Deux configurations :

III-Droites remarquables dans un triangle quelconque : 1. Médiatrices :

Définition 1 : On appelle médiatrice d'un segment [AB] la perpendiculaire à [AB] passant par le milieu de [AB]

Propriété 1 : La médiatrice d'un segment [AB] est l'ensemble des points M du plan tels que MA = MB

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héorème 5 : Les trois médiatrices d'un triangle ABC se coupent en un point O. Ce point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Théorème 6 : Un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si le centre du cercle circonscrit est le milieu du coté [BC].

2. Médianes :

Définition 2 : Dans un triangle ABC la médiane (AA') est la droite passant par le sommet A et le milieu A' du coté opposé [BC].

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héorème 7 : Les trois médianes d'un triangle ABC se coupent en un point G. Ce point G est appelé le centre de gravité du triangle ABC.

Remarque :Le centre de gravité G vérifie AG=2

3 AA' ; BG=2

3 BB' et CG=2 3 CC' 3. Hauteurs :

Définition 3 : Dans un triangle ABC la hauteur (AL) est la droite passant par le sommet A et perpendiculaire à la droite (BC).

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héorème 8 : Les trois hauteurs d'un triangle ABC se coupent en un point H. Ce point H est appelé l'orthocentre du triangle ABC.

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4. Bissectrices :

Définition 4 : Dans un triangle ABC la bissectrice [Ax) de l'angleBAC est la demi-droite passant par le sommet A et partageant l'angleBAC en deux angles égaux.

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héorème 9 : Les trois bissectrices d'un triangle ABC se coupent en un point I. Ce point I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.