Lyc´ee Schuman Perret
D´ecembre 2020 Fiche d’exercices No 8 Cira1
EXERCICE 1 R´esoudre les ´equations suivantes : (E1)e2x+1 = 1
(E2) 3e−2x+1 = 1
(E3)e2x−2ex−3 = 0 (E4) ln(x+ 1) = 3
(E5)e2x+1 = 3 (E6)e2x+1 = 2ex
EXERCICE 2 Calculer les limites suivantes : f1(x) = 5e2x+1 en ±∞ f2(x) = 5
ex−12 en ±∞ f3(x) = ex
ex+ 4 en ±∞
EXERCICE 3 Calculer les d´eriv´ees des fonctions suivantes : f1(x) =e2x+ 3
f2(x) = 5e−x+ 3x+ 4 f3(x) = 2e5x2
f4(x) =xln(2x+ 1) f5(x) = ex+ 1
ex−1 f6(x) = ln√
1 +x2
f7(x) = 7e−x/3 f8(x) = 1
e2x+1
f9(x) = (2x+ 1)e−3x
EXERCICE 4Soitf une fonction d´efinie et d´erivable sur l’intervalle ]0 ; 10] dont la courbe repr´esentative Cf est donn´ee ci-dessous dans un rep`ere d’origine O :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
−1
−2
−3 1 2
Cf
On rappelle que f′ d´esigne la fonction d´eriv´ee de la fonction f.
1. Le nombre de solutions sur l’intervalle ]0 ; 10] de l’´equation f′(x) = 0 est ´egal `a :
a. 1 b. 2 c. 3
2. Le nombre r´eel f′(7) est :
a. nul b. strictement positif c. strictement n´egatif
3. La fonction f′ est :
a. croissante sur ]0 ; 10] b. croissante sur [4 ; 7] c. d´ecroissante sur [4 ; 7]
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Lyc´ee Schuman Perret
D´ecembre 2020 Fiche d’exercices No 8 Cira1
EXERCICE 5
Dans cet exercice, la temp´erature est exprim´ee en degr´es Celsius (°C) et le temps t est exprim´e en heures.
Une entreprise cong`ele des aliments dans un tunnel de cong´elation avant de les conditionner en sachets. `A l’instant t = 0, les aliments, `a une temp´erature de 5 °C, sont plac´es dans le tunnel.
Pour pouvoir respecter la chaˆıne du froid, le cahier des charges impose que les aliments aient une temp´erature inf´erieure ou ´egale `a −24°C.
La temp´erature des aliments dans le tunnel de cong´elation est mod´elis´ee en fonction du temps t par la fonctionf d´efinie sur l’intervalle [0,+∞[ parf(t) = 35e−1,6t−30.
1. D´eterminer la temp´erature atteinte par les aliments au bout de 30 minutes, soit 0,5 h.
2. ´Etudier le sens de variation de la fonction f.
3. Si les aliments sont laiss´es une heure et demie dans le tunnel de cong´elation, la temp´erature des aliments sera-t-elle conforme au cahier des charges ?
4. R´esoudre par le calcul l’´equation f(t) =−24 et interpr´eter le r´esultat trouv´e.
EXERCICE 6
La fonte GS (graphite sph´ero¨ıdal) poss`ede des caract´eristiques m´ecaniques ´elev´ees et proches de celles des aciers. Une entreprise fabrique des pi`eces de fonte GS qui sont utilis´ees dans l’industrie automobile.
Ces pi`eces sont coul´ees dans des moules de sable et ont une temp´erature de 1 400°C `a la sortie du four.
Elles sont entrepos´ees dans un local dont la temp´erature ambiante est maintenue `a une temp´erature de 30°C. Ces pi`eces peuvent ˆetre d´emoul´ees d`es lors que leur temp´erature est inf´erieure `a 650°C.
La temp´erature en degr´es Celsius d’une pi`ece de fonte est une fonction du tempst, exprim´e en heures, depuis sa sortie du four. On admet que cette fonctionf, d´efinie et d´erivable sur l’intervalle [0 ; +∞[, est d´efinie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par
f(t) = 1 370e−0,065t+ 30.
1. a) ´Etudier math´ematiquement le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.
b) Pourquoi ce r´esultat ´etait-il pr´evisible ?
2. La pi`ece de fonte peut-elle ˆetre d´emoul´ee apr`es avoir ´et´e entrepos´ee 5 heures dans le local ? 3. a) D´eterminer au bout de combien de temps au minimum la pi`ece pourra ˆetre d´emoul´ee.
Arrondir le r´esultat `a la minute pr`es.
b) Pour ´eviter la fragilisation de la fonte, il est pr´ef´erable de ne pas d´emouler la pi`ece avant que sa temp´erature ait atteint 325°C.
Dans ce cas faudra-t-il attendre exactement deux fois plus de temps que pour un d´emoulage
`a 650°C ? Justifier la r´eponse.
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