Si une des pes´ees donne l’´equilibre, c’est que la pi`ece fausse n’y figure pas

Enonc´e n^oA712 (Diophante)

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin 1) Avec la balance de Roberval

Chaque pes´ee est une comparaison, de 2 pi`eces ou de 2 lots contenant le mˆeme nombre de pi`eces. Elle peut donner 3 r´esultats : penche `a gauche (G), penche `a droite (D), ´equilibre (E).

Pour trouver une pi`ece fausse parmi 6 pi`eces, not´eesa, b, c, d, e, f, il faut au moins 3 pes´ees car 2 pes´ees ne donnent que 3² = 9 r´esultats alors qu’il y a 12 ´eventualit´es `a d´epartager (6 pour le choix de la pi`ece fausse, multipli´e par 2 pour le sens de l’´ecart).

Une solution en 3 pes´ees est la suivante : je compare le lot ab et le lot cd, puis le lot ab et le lot ef. Si une des pes´ees donne l’´equilibre, c’est que la pi`ece fausse n’y figure pas ; on sait dans quel lot elle est, et l’autre pes´ee indique le sens de l’´ecart entre pi`ece fausse et “bonne” pi`ece. Si les deux pes´ees donnent un d´es´equilibre, c’est le lotab, pr´esent dans les deux pes´ees, qui contient la pi`ece fausse, et on voit le sens de l’´ecart. La 3e pes´ee compare les deux pi`eces du lot en question pour indiquer (par le sens de l’´ecart qui est connu) quelle est la fausse. Equivalemment, la 3e pes´ee peut comparer 2 lots de 3 pi`eces,ace etbdf.

En d’autres termes, le programme de 3 pes´eesab/cd,ab/ef,ace/bdf r´epond

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a la question. On peut noter que peu importe dans quel ordre on fait ces 3 pes´ees, on n’a pas `a tenir compte du r´esultat des premi`eres pes´ees pour constituer les suivantes.

Parmi 9 pi`eces a, b, c, d, e, f, g, h, i, la mˆeme m´ethode marche : comparant abc`a def, puis abc`a ghi, on identifie le lot o`u est la pi`ece fausse et le sens de l’´ecart. Il suffit de comparer deux pi`eces du lot en question dans la 3e pes´ee : si elle donne l’´equilibre, c’est la 3e pi`ece qui est fausse ; si elle donne un d´es´equilibre, la connaissance du sens de l’´ecart indique quelle est la pi`ece fausse.

L`a encore, la 3e pes´ee peut ˆetreadg/behet le programmeabc/def,abc/ghi, adg/behpeut ˆetre ex´ecut´e dans un ordre quelconque.

On pourrait croire que 9 pi`eces sont la limite des possibilit´es en 3 pes´ees, mais il n’en est rien. 3 pes´ees permettent de trouver une pi`ece fausse (plus lourde ou plus l´eg`ere) parmi 12 pi`eces (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l).

Les pes´ees sont par exemple acdj/bf hi, bdek/cgij, cef l/dhjk. On peut v´erifier que les 24 cas donnent des triplets de r´esultats distincts, ce qui permet, inversement, de d´eduire la pi`ece fausse et le sens de l’´ecart des r´esultats de pes´ees. Les triplets de r´esultats se groupent en paires d’´el´ements

“sym´etriques” (se correspondant par ´echange entre gauche et droite) ; une paire d´esigne une pi`ece, l’´el´ement dans la paire indique le sens de l’´ecart.

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Pour trouver une pi`ece fausse parmi npi`eces,

– le nombre de pes´ees n´ecessaire et suffisant estdlog(2n+ 3)/log 3e, – il est possible de fixer `a l’avance le programme des pes´ees.

Voir dans la revue Quadrature (n^o18, page 40) l’Avis de recherche n^o27, o`u j’ai trait´e ce probl`eme.

Le principe est le mˆeme que pr´ec´edemment : si une pes´ee donne l’´equilibre, la pi`ece fausse n’y figure pas ; si deux pes´ees donnent des d´es´equilibres de mˆeme sens, la pi`ece fausse est dans le mˆeme plateau dans les deux pes´ees, etc.

Remarque 1. Si on dispose en plus d’une pi`ece dont on sait qu’elle n’est pas fausse, le nombre de pes´ees suffisant est dlog(2n+ 1)/log 3e. Par exemple, pourn= 13, j’ai les pi`ecesa, . . . , l, m et la pi`ece de r´ef´erencer.

Les 24 r´esultats des pes´ees indiqu´ees pour le casn= 12 ne couvrent pas les 27 possibilit´es de 3 pes´ees : ils laissent de cˆot´e le tripletEEE (aucune pi`ece fausse), et la paire GGG, DDD. On peut affecter celle-ci `a la pi`ece m, en

´equilibrant le nombre de pi`eces dans les plateaux avec la pi`ecer: les pes´ees sontacdjm/bf hir,bdekm/cgijr,cef lm/dhjkr.

De mˆeme, 2 pes´ees suffisent pour 4 pi`eces si on a en plus une bonne pi`ecer.

Les pes´ees sont ab/cr,ar/bd.

Remarque 2. Si le sens de l’´ecart est connu a priori, il suffit de dlogn/log 3e pes´ees. On forme 3 lots aussi ´egaux que possible en nombre de pi`eces et on en compare deux ayant le mˆeme nombre de pi`eces, cela suffit `a localiser la pi`ece fausse dans un des lots. On poursuit les divisions en 3 jusqu’`a identifier la pi`ece fausse.

2) Avec une balance ´electronique

Chaque pes´ee permet de connaˆıtre la masse totale, mais aussi la masse moyenne, des pi`eces mises sur le plateau.

2.1) Si l’on connaˆıt la masse d’une “bonne” pi`ece, il suffit de dlogn/log 2e pes´ees, en op´erant par dichotomie : en pesant un lot de la moiti´e des pi`eces, on localise la pi`ece fausse dans un lot dedn/2epi`eces, et ainsi de suite. Cela conduit `a 3 pes´ees pour 5 `a 8 pi`eces, 4 pes´ees pour 9 `a 16 pi`eces.

C’est seulement pour 4 pi`eces, et en connaissant la masse d’une “bonne”

pi`ece, que la balance ´electronique prend l’avantage (2 pes´ees au lieu de 3 pour Roberval). Mais cet avantage disparaˆıt si on admet, pour la balance de Roberval, disposer d’une “bonne” pi`ece r.

2.2) Je suppose maintenant que l’on ne connaˆıt pas a priori la masse d’une

“bonne” pi`ece. Alors il faut commencer par diviser les pi`eces en 3 lots et les peser ; l’´egalit´e des masses moyennes de 2 lots donne la masse d’une “bonne”

pi`ece, et indique que la pi`ece fausse n’y figure pas. On poursuit ensuite par dichotomie.

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Pour 6 pi`eces, je p`ese donc ab, cd, ef puis ace pour savoir, dans le lot identifi´e, quelle est la pi`ece fausse : 4 pes´ees.

Pour 12 pi`eces, je p`ese de mˆeme abcd, ef gh, ijkl, abef ij et acegik : les 3 premi`eres pes´ees localisent la pi`ece fausse dans un lot de 4, la 4e pes´ee dans un lot de 2 (aboucdsi le lot de 4 estabcd), la 5e pes´ee trouve la pi`ece fausse (c oudsi le lot de 2 est cd).

Cette m´ethode conduit pournpi`eces au nombre de pes´eesdlog(8n/3)/log 2e.

Pour 7 `a 11 pi`eces, il me faut jusqu’`a 5 pes´ees : pour 9 pi`eces par exemple, 3 pes´ees fournissent un lot de 3 pi`eces contenant la pi`ece fausse, la masse d’une “bonne” pi`ece et le sens de l’´ecart, et je peux avoir `a peser deux des pi`eces de ce lot pour trouver la pi`ece fausse.

En conclusion, dans ce probl`eme la balance ´electronique n’a jamais de r´eel avantage sur la balance de Roberval, sauf si on admet que la masse d’une

“bonne” pi`ece est plus facile `a communiquer (par courrier ´electronique, par exemple) qu’un exemplaire de cette pi`ece. Et cela se limite au cas de 4 pi`eces.

On peut interpr´eter cette conclusion en termes de th´eorie de l’information : la quantit´e d’information apport´ee par une pes´ee de balance de Roberval peut atteindre log 3/log 2 bits, si les 3 r´esultats D, G, E sont ´equiprobables. Une pes´ee de balance ´electronique n’apporte qu’un bit dans le pr´esent probl`eme : oui ou non `a la conformit´e de la masse mesur´ee `a une r´ef´erence pr´ec´edente.

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